三角形の面積

かなり前の中学３年のクリスマスの夜に導いた公式です．
三角形は３辺の長さが決まると１通り（裏返しもあるけれど）に決まるから
３辺の長さから面積は決まるはずだという発想から
求めてみました．
まず，頂点から対辺に垂線を下ろします．
ここで，頂点をうまく選べば対辺の内分点を垂線の足にすることができます．
そこで，三角形ABCで，頂点Aから垂線を下ろし，その足をHとすると，
$a$=BC,$b$=CA,$c$=ABとし，$x$=BH,$h$=AHとします．
２つの直角三角形で「三平方の定理」から，
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{c}^2=x^2+h^2\\ b^2=(a-x{)}^2+h^2\end{array}\end{array}$$
ここで，辺辺を引いて，
$$c^2-b^2=2ax-a^2$$
$$x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}$$
これから，
$$h^2=c^2-(\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}{)}^2=(\frac{2ac-a^2-c^2+b^2}{2a})(\frac{2ac+a^2+c^2-b^2}{2a})$$
$$h^2=\frac{b^2-(a-c{)}^2}{2a}\frac{(a+c{)}^2-b^2}{2a}$$
$$h^2=\frac{(-a+b+c)(a+b-c)(a+b+c)(a-b+c)}{4a^2}$$
これから，
$$h=\frac{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}{2a}$$
面積$S$は$S=\frac{ah}{2}$から
$$S=\frac{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}{4}$$
思うように表現できて感動しました^^