0.999...=1を説明する図
0.999...=1を説明する
よくTwitter（現𝕏）で話題になっているので、先日それを説明する図を考えてみた。
𝕏などで
つぶやいた
が、流れてしまったのでここにも記録として残しておく。
面積1の正方形を分けていく
各辺の長さ$1$の正方形を考える。面積は$1$
正方形を、横辺の左端から$1:9$のところで縦分割線を入れて、左側に横辺長$\frac{1}{10} \times $縦辺長$1$の長方形、右側に横辺長$\frac{9}{10} \times $縦辺長$1$の長方形に分けると、面積はそれぞれ$\frac{1}{10}$と$\frac{9}{10}$
右側の長方形（面積$\frac{1}{10}$）を、縦辺の下端から$1:9$のところで、横分割線を入れて、下に辺長$\frac{1}{10}$の正方形と上側に横辺長$\frac{1}{10} \times $縦辺長$\frac{9}{10}$の長方形に分けると、面積はそれぞれ$\frac{1}{100}$と$\frac{9}{100}$
右下の正方形を改めて、最初の手順(1)の正方形と考えて、同じことを続けていく。無限に繰り返すことを想像する。
0.999...=1の図
面積を考えると、
\begin{align} 1 &= \frac{9}{10}+\frac{1}{10} \\[1.0em] &= \frac{9}{10}+\frac{1}{10}(\frac{9}{1 0}+\frac{1}{10}) \\[1.0em] &= \frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{1}{100} \\[1.0em] &= \frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{1}{100}(\frac{9}{10}+\frac{1}{10}) \\[1.0em] & \cdots (繰り返し)\cdots \\[1.0em] &=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\cdots \\[1.0em] &=0.9+0.09+0.009+\cdots \\[1.0em] &=0.999... \end{align}
2進法でも同様
$10$進法だけでなく、他の$n$進法でも同様な式は成り立つ。
例えば、$2$進法なら$0.111…₂=1$となる。
2進法で0.111…=1
面積を考えると、
\begin{align} 1 &= \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\[1.0em] &= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2 }+\frac{1}{2}) \\[1.0em] &= \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \\[1.0em] &= \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}) \\[1.0em] & \cdots (繰り返し)\cdots \\[1.0em] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots \\[1.0em] &=0.1_{2}+0.01_{2}+0.001_{2}+\cdots \\[1.0em] &=0.111..._{2} \end{align}
結局これは高校で習う数学でも現れる簡単な無限等比級数とその値$1$を表している。
\begin{align}
&\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^k}+\cdots =1\\[1.0em]
\end{align}
n進法でも同様
同様に、
$3$進法で$0.222…₃=1$
$4$進法で$0.333…₃=1$
・・・
$n$進法で$0.(n-1)(n-1)(n-1)…ₙ=1$
実際、各$n$で同様に正方形を分割するときの面積を考えると、
\begin{align} 1 &= \frac{n-1}{n}+\frac{1}{n} \\[1.0em] &= \frac{n-1}{n}+\frac{1}{n}(\frac{n-1}{n}+\frac{1}{n}) \\[1.0em] &= \frac{n-1}{n}+\frac{n-1}{n^2}+\frac{1}{n^2} \\[1.0em] &= \frac{n-1}{n}+\frac{n-1}{n^2}+\frac{1}{n^2}(\frac{n-1}{n}+\frac{1}{n}) \\[1.0em] & \cdots (繰り返し)\cdots \\[1.0em] &=\frac{n-1}{n}+\frac{n-1}{n^2}+\frac{n-1}{n^3}+\cdots \\[1.0em] &=0.(n-1)_n+0.0(n-1)_n+0.00(n-1)_n+\cdots \\[1.0em] &=0.(n-1)(n-1)(n-1)..._n \end{align}
無限和
\begin{align}
S=\frac{n-1}{n}+\frac{n-1}{n^2}+\frac{n-1}{n^3}+\cdots \\[1.0em]
\end{align}
は初項$\dfrac{n-1}{n}$、公比$\dfrac{1}{n}$の無限等比級数と見做せることから、
$S=\dfrac{n-1}{n}\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{n}}=\dfrac{n-1}{n}\dfrac{n}{n-1}=1$
となるとも考える事もできる。
同じことだが、以下のように直接的に（無限和の式変形で差をとるのは乱暴かもしれないが直観的に）導出できる。
\begin{align}
&\frac{n-1}{n}+\frac{n-1}{n^2}+\frac{n-1}{n^3}+\cdots \\[1.0em]
&=\frac{n-1}{n} ( 1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\cdots ) \\[1.0em]
&=\frac{1}{n}(n(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\cdots )-(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\cdots ) ) \\[1.0em]
&=\frac{1}{n}((n+1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\cdots )-(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\cdots ) ) \\[1.0em]
&=\frac{1}{n}(n)\\[1.0em]
&=1\\[1.0em]
\end{align}
面積1の正方形を無限個に分割した図
Geogebraで、
$n $進法で $0.(n-1)(n-1)(n-1)..._n=1 $という事を説明する図を
n=2,3,...,10で動かせるのを作成した
→
https://geogebra.org/calculator/dufbqqey
それを動かす様子の動画→
https://www.youtube.com/shorts/CP0ayOEzQgQ
面積1の正方形の分割
終わりに
ネットで、よく話題や時に不毛に感じる論争になる算数や数学の話題を、自分なりに客観性を持って説明を考えてみるというのはとても勉強にや復習になることだと感じた。もちろん、どんなに説明してもそれに賛同しない人も一定数いることがわかる。それでも、「簡単だ」「わかっている」と思う事自体を自分で考えてみることは大切だと思う。
