Peter-Weylの定理

$G$上にはHaar測度がある、今は最高次の微分形式で左不変なものによる積分のことである。これに付随する$L^2(G)$には$G$からの左掛け算により無限次元ユニタリ表現が生えるが、これはめちゃくちゃ単射である。Peter-Weylの定理から、有限次元表現$\pi_i:G\to \U(n_i)$の列であって、直和（直積）$\prod_i\pi_i:G\to\prod_i\U(n_i)$が単射なものが存在する。これは「有限次元表現が沢山ある」みたいな主張である。
実は（Lie環からの$\mathrm{exp}$とかを知っていれば）単位元のある近傍$U\subset G$で非自明な部分群を含まないものが存在し、$\bigcap_i\ker\pi_i=\{e\}\subset U$ にてコンパクト性から、有限個の$i$でその$\ker\pi_i$の交叉が$U$に含まれるものが存在する。つまりその有限個の直積$\prod_i:G\to\prod_i\U(n_i)\subset\U(N)$ は単射である。

上で「有限次元既約表現」と書いたところは「有限次元表現」でもいい、なぜなら有限個の既約表現の和に分かれるから。
そしてそれらは積について閉じている、テンソル積である。$\inpro{\xi,\pi(g)\eta}\inpro{\xi',\pi'(g)\eta'}=\inpro{\xi\otimes\xi',(\pi\otimes\pi')(g)(\eta\otimes\eta')}$
複素共役について閉じている、線形空間のレベルで複素共役（構造射$\C\to\mathrm{End}(\H)$の$\C$を複素共役で捻る）を取ることができ、表現の複素共役がある。行列の言葉では、成分を全部そのまま複素共役にするだけである。
以上よりStone-Weierstrassの定理が適用でき、稠密性を示したいなら分離性を示せばいい。即ち$g_1\neq g_2\in G$に対しある行列要素$c\in C(G)$で$c(g_1)\neq c(g_2)$となっていればいい。
これは実際、$\xi,\eta\in L^2(G)$を（各点毎で）positiveかつそれぞれ$g_1,e$での十分小さい近傍でしか値を取らないものを取れば、$c(g):=\inpro{\xi,g\eta}$が$c(g_1)\neq0=c(g_2)$とできる。このままだと$L^2(G)$は無限次元だが、それは既約表現の和であり、有限次元表現の極限だからちょっと取り直せば大丈夫。

まず、「任意のユニタリ表現が0でない有限次元不変部分空間を持つ」という主張に帰着されることを見る。実際、もしこれが正しかったら、与えられた表現を有限次元不変部分空間とその直交補空間に分けて、残りの補空間に同じ操作を繰り返していけばいい。正確に言うと「互いに直交する有限次元部分表現の族」のうち最大なものをZornの補題で取り、それらの張る閉部分空間が（直交補空間が0だから）全体になっている。つまり、有限次元表現の直和になっているが、先の注意から各有限次元表現は更に既約表現の直和だからPeter-Weylの主張を得る。
次に、上の主張を示す。ユニタリ表現$\pi:G\act\H$を取る。$\xi_0\neq0\in\H$を取って$T\xi:=\inpro{\xi_0,\xi}\xi_0$という有限階作用素を考える。$S:=\int_G \pi(g)T\pi(g^{-1})dg$という作用素がキーマンである。これは本当にRiemann積分の意味での積分であるが、つまり有限階作用素のRiemann和（有限和）の極限だからコンパクト作用素。更に、
$\inpro{\xi,S\xi}=\int_G\inpro{\pi(g)^*\xi,T\pi(g)^*\xi}dg=\int_G\abs{\inpro{\pi(g)\xi_0,\xi}}^2dg\geq0$
だから$S\neq0$。Haar測度の左不変性から$\pi(g)S\pi(g^{-1})=S$、つまり$S$は$G$不変であり、その適当な固有空間（有限次元）も$G$不変になる。

$\H$の単位球は弱位相についてコンパクトであることを使います、これはBanach-Alaogluの定理とRieszの表現定理から出てきます。
$\{\xi_n\}\subset\H$が0に弱収束するとは、$\forall\xi'\ \inpro{\xi',\xi_n}\to0$となることですが、これはつまり$T\xi:=\inpro{\xi',\xi}\xi''$というrank1の作用素について$T\xi_n\to0$となることです。一般に有限階作用素は（有限次元の線形代数から）このような$T$の線形結合で書けるので、有限階作用素は0に弱収束する列を0に飛ばします。そのノルム極限であるコンパクト作用素もノルム有界な0への弱収束列を0に飛ばします（こっちはノルム収束）。

証明は変分法です。$\lambda>0$と仮定していい。$\xi_n\in\H$を$\norm{\xi_n}\leq1$かつ$\inpro{\xi_n,S\xi_n}\to\lambda$と取る。このとき、$0$は$\{\xi_n\}$の弱収束での集積点（部分列の極限）となりえない、実際上の仮定から十分大きい$n$で$\norm{S\xi_n}\geq\lambda-\ve>0$となっている。故に単位球のコンパクト性からある$\xi\neq0$に弱収束する部分列$\{\xi_n'\}$を取る。このとき$\norm{\xi}\leq1$に注意。
コンパクト作用素は（ノルム有界）弱収束をノルム収束に移すので、$S\xi_n'\to S\xi$はノルム収束する。一方$\xi_n'\to\xi$は（ノルム有界な）弱収束であるから、$\inpro{\xi_n',S\xi_n'}\to\inpro{\xi,S\xi}$となる（後述）。故に$\inpro{\xi,S\xi}=\lambda$。

$\inpro{\xi,S\xi}=\lambda$なる$\xi$を単位球から取る。$\forall\xi'\in\H\ \inpro{\xi',S\xi'}\leq\lambda\norm{\xi'}^2$に注意。
$\xi$に直交する$\eta\in\H$を固定し$\xi'=\xi+\ve\eta$を上式に入れると、$\ve\to0$についての定数を除き、左辺は$2\Re\inpro{\eta,S\xi}\ve$と二次の項が出て、右辺は二次の項だけ出る。故に$\Re\inpro{\eta,S\xi}\leq0$であり、$\eta$を動かすことで結局$S\xi$は全ての$\eta$と直交する、つまり$\xi$のスカラー倍。そのスカラーは$\inpro{\xi,S\xi}$のことだから、結局$\lambda$の固有ベクトルである。
固有空間の有限次元性は背理法から分かる。その固有空間の正規直交系$\{\xi_n\}$を取るとそれは0に弱収束する（$\sum_n\abs{\inpro{{}^\forall\xi,\xi_n}}^2<\infty$に注意）。故に$S$を当てると0にノルム収束する列になるはずだが、ノルムが$\lambda$倍されるだけなので矛盾する。