Peter-Weylの定理
Peter-Weylの定理とその系
これはコンパクト群の有限次元表現がいっぱいあることを保証する定理です。
コンパクト位相群$G$の連続なユニタリ表現は有限次元既約表現の直和に分かれる。
実は一般の位相群の無限次元表現は全然有限次元表現の直和に分解したりしないんですが、コンパクト群ではそういったことは起きず、状況がとても綺麗になっているという主張です。
関数解析に興味がなければ無限次元表現とか位相群とかどうでもいいと思うかもしれないんですが、コンパクトLie群の有限次元表現の話をするときにすらPeter-Weylの定理を経由しないと有限次元表現が沢山あることは言えないわけです。
コンパクトLie群$G$は十分次元の高い直交群に埋め込むことができる。
$G$上にはHaar測度がある、今は最高次の微分形式で左不変なものによる積分のことである。これに付随する$L^2(G)$には$G$からの左掛け算により無限次元ユニタリ表現が生えるが、この$G\to\mathbb{B}(L^2(G))$はめちゃくちゃ単射である。Peter-Weylの定理から、有限次元表現$\pi_i:G\to \U(n_i)$の列であって、直和（直積）$\prod_i\pi_i:G\to\prod_i\U(n_i)$が単射なものが存在する。これは「有限次元表現が沢山ある」みたいな主張である。
実は（Lie環からの$\mathrm{exp}$とかを知っていれば）単位元のある近傍$U\subset G$で非自明な部分群を含まないものが存在する。$\bigcap_i\ker\pi_i=\{e\}\subset U$ にてコンパクト性から、有限個の$i$での交叉$\bigcap_{\text{有限個}}\ker\pi_i\subset U$が$U$に含まれるものが存在する。つまりその有限個の交叉は自明群であり、直積$\prod_{\text{有限個}}\pi_i:G\to\prod_{\text{有限個}}\U(n_i)\subset\U(N)$ は単射である。
ユニタリ表現$\pi:G\act\H$の行列要素とは$\xi,\eta\in\H$に対し$g\mapsto\inpro{\xi,\pi(g)\eta}$という形（これは内積）の$G$上の連続関数のことである。$G$の有限次元既約表現の行列要素全体の線形結合は連続関数環$C(G)$内で一様収束位相について稠密である。
上で「有限次元既約表現」と書いたところは「有限次元表現」でもいい、なぜなら有限個の既約表現の和に分かれるから。
そしてそれらは積について閉じている、テンソル積である。$\inpro{\xi,\pi(g)\eta}\inpro{\xi',\pi'(g)\eta'}=\inpro{\xi\otimes\xi',(\pi\otimes\pi')(g)(\eta\otimes\eta')}$
複素共役について閉じている、線形空間のレベルで複素共役（構造射$\C\to\mathrm{End}(\H)$の$\C$を複素共役で捻る）を取ることができ、表現の複素共役がある。行列の言葉では、成分を全部そのまま複素共役にするだけである。
以上よりStone-Weierstrassの定理が適用でき、稠密性を示したいなら分離性を示せばいい。即ち$g_1\neq g_2\in G$に対しある行列要素$c\in C(G)$で$c(g_1)\neq c(g_2)$となっていればいい。
これは実際、$\xi,\eta\in L^2(G)$を（各点毎で）positiveかつそれぞれ$g_1,e$での十分小さい近傍でしか値を取らないものを取れば、$c(g):=\inpro{\xi,g\eta}$が$c(g_1)\neq0=c(g_2)$とできる。このままだと$L^2(G)$は無限次元だが、それは既約表現の和であり、有限次元表現の極限だからちょっと取り直せば大丈夫。
$G=S^1$のときは「三角多項式（$e^{2\pi n\theta i}$の線形結合）が連続関数環の中で稠密」という主張になる。
Peter-Weylの定理の証明
有限次元ユニタリ表現は常に既約表現の直和に分かれる。単に分かれるだけ分けていくだけだが、直既約と既約の差異が無いことだけ言う必要がある。つまり、もし非自明な不変部分空間があったときにその直交補空間が（ユニタリ性から）不変部分空間になり、常に綺麗に直和に分解されていく。
Hilbert空間$\H$上の有限階作用素（像が有限次元な作用素）のノルム極限のことをコンパクト作用素と呼ぶ。コンパクト作用素はいつでも対角化することができ、固有値の重複度は（0以外）有限個である。
これは関数解析の教科書に書いてあるので示しません。今日使うのは更に自己共役性を課した場合ですが、そこまで課した方が簡単な証明が見つかるかもしれません。
まず、「任意のユニタリ表現が0でない有限次元不変部分空間を持つ」という主張に帰着されることを見る。実際、もしこれが正しかったら、与えられた表現を有限次元不変部分空間とその直交補空間に分けて、残りの補空間に同じ操作を繰り返していけばいい。正確に言うと「互いに直交する有限次元部分表現の族」のうち最大なものをZornの補題で取り、それらの張る閉部分空間が（直交補空間が0だから）全体になっている。つまり、有限次元表現の直和になっているが、先の注意から各有限次元表現は更に既約表現の直和だからPeter-Weylの主張を得る。
次に、上の主張を示す。ユニタリ表現$\pi:G\act\H$を取る。$\xi_0\neq0\in\H$を取って$T\xi:=\inpro{\xi_0,\xi}\xi_0$という有限階作用素を考える。$S:=\int_G \pi(g)T\pi(g^{-1})dg$という作用素がキーマンである。これは本当にRiemann積分の意味での積分であるが、つまり有限階作用素のRiemann和（有限和）の極限だからコンパクト作用素。更に、
$\inpro{\xi,S\xi}=\int_G\inpro{\pi(g)^*\xi,T\pi(g)^*\xi}dg=\int_G\abs{\inpro{\pi(g)\xi_0,\xi}}^2dg\geq0$
だから$S\neq0$。Haar測度の左不変性から$\pi(g)S\pi(g^{-1})=S$、つまり$S$は$G$不変であり、その適当な固有空間（有限次元）も$G$不変になる。
おまけ（コンパクト作用素）
上の補題2よりも弱い（しかしPeter-Weylの定理を示す上では十分な）主張を示そうと思います。上で作った$S$は$\inpro{\xi,S\xi}\geq0\ \forall\xi\in\H$を満たしますが、そういった行列は半正定値と呼ばれていました。特に自己共役（Hermite行列）です。
$S$をコンパクト作用素（有限階作用素のノルム極限）であって、$\forall\xi\in\H\ \inpro{\xi,S\xi}\geq0$とする。このとき、$\lambda:=\sup_{\norm{\xi}\leq1}\inpro{\xi,S\xi}$は$S$の固有値であり、$\lambda>0$（$S\neq0$）ならばその固有空間は有限次元。
余談ですが、この主張を繰り返し適用することで自己共役コンパクト作用素の対角化を得ます。あと実は$\lambda=\norm{S}$です（$S^{\frac12}$の存在とかを知っていれば分かります）。
上の仮定の下で、$\sup$は実は$\max$である（$\lambda$を実現する$\xi$がある）。
$\H$の単位球は弱位相についてコンパクトであることを使います、これはBanach-Alaogluの定理とRieszの表現定理から出てきます。
$\{\xi_n\}\subset\H$が$\xi$に弱収束するとは、$\forall\xi'\ \inpro{\xi',\xi_n}\to\inpro{\xi',\xi}$となることですが、ここから$T\xi:=\inpro{\xi',\xi}\xi''$というrank1の作用素について$\inpro{\xi_n,T\xi_n}\to\inpro{\xi,T\xi}$となることです。一般に有限階作用素は（有限次元の線形代数から）このような$T$の線形結合で書けるので、有限階作用素でも$\inpro{\xi_n,T\xi_n}\to\inpro{\xi,T\xi}$が成り立ちます。ノルム極限を取ることでコンパクト作用素でもそうです。
証明は変分法です。$\lambda>0$と仮定していい。$\xi_n\in\H$を$\norm{\xi_n}\leq1$かつ$\inpro{\xi_n,S\xi_n}\to\lambda$と取る。単位球の弱コンパクト性から、$\xi_n$のultralimit$\xi$を取る。上の議論から$\inpro{\xi_n,S\xi_n}\to\inpro{\xi,S\xi}\ \text{as}\ n\to\mathcal{U}$となる。
故に$\lambda=\inpro{\xi,S\xi}$であり$\norm{\xi}\leq1$であり、$\lambda$の最大性から$\norm{\xi}=1$となる。
$\inpro{\xi,S\xi}=\lambda$なる$\xi$を単位球から取る。$\forall\xi'\in\H\ \inpro{\xi',S\xi'}\leq\lambda\norm{\xi'}^2$に注意。
$\xi$に直交する$\eta\in\H$を固定し$\xi'=\xi+\ve\eta$を上式に入れると、$\ve\to0$についての定数を除き、左辺は$2\Re\inpro{\eta,S\xi}\ve$と二次の項が出て、右辺は二次の項だけ出る。故に$\Re\inpro{\eta,S\xi}\leq0$であり、$\eta$を動かすことで結局$S\xi$は全ての$\eta$と直交する、つまり$\xi$のスカラー倍。そのスカラーは$\inpro{\xi,S\xi}$のことだから、$\xi$は$\lambda$の固有ベクトルである。
固有空間の有限次元性は背理法から分かる。その固有空間の正規直交系$\{\xi_n\}$を取るとそれは0に弱収束する（$\sum_n\abs{\inpro{{}^\forall\xi,\xi_n}}^2<\infty$に注意）。故に$S$を当てると0にノルム収束する列になるはずだが、ノルムが$\lambda$倍されるだけなので矛盾する。
