Galois接続と加群と局所環
局所性
加群と局所環についての議論を束の言葉に翻訳してパラレルに議論する。
組成列を持つ$R$加群$M$が直既約である必要十分条件は、$\end_R(M)$が局所環になることである。
これを次の対応で束の言葉に翻訳する。
$\i$組成列を持つ$R$加群$M$ ↔ 有限長モジュラー束$\Lambda$
$\i$$M$が直既約 ↔ $1 \in \Lambda$が結び直既約元
$\i$$\end_R(M)$ ↔ $\end(\Lambda)$(準同型$\Lambda \to \Lambda$全体のなすモノイド)
$\i$単元 ↔ 自己同型
$\i$$f + g = \id_M$ ↔ $\Id_\Lambda \le \phi \vee \psi$
$\i$局所環 ↔ 局所的
$\end(\Lambda)$には和がないので、和の代わりにGalois接続の結び$\vee$([Galois接続の順序と結び])を使うのが要点である。
自己同型モノイド
$\Lambda$: ACCまたはDCCを満たす有界モジュラー束
$\phi, \psi \in \end(\Lambda)$
$\phi \circ \psi$: 自己同型
このとき、$\phi$と$\psi$はともに自己同型である。
特に、自己同型でない元全体は、モノイド$\end(\Lambda)$の両側イデアルである。
[示すこと: $\ker(\psi) = 0$]
$\i$$0 \le \ker(\phi)$であり、$\psi^*$は順序を保つから、$\ker(\psi) = \psi^*(0) \le \psi^*(\ker(\phi))$
$\i$[合成の核と像]より、$\psi^*(\ker(\phi)) = \ker(\phi \circ \psi) = 0$
$\i$よって、$\ker(\psi) = 0$
[示すこと: $\im(\phi) = 1$]
$\i$$\im(\psi) \le 1$であり、$\phi_*$は順序を保つから、$\phi_*(\im(\psi)) \le \phi_*(1) = \im(\phi)$
$\i$[合成の核と像]より、$\phi_*(\im(\psi)) = \im(\phi \circ \psi) = 1$
$\i$よって、$\im(\phi) = 1$
[$\Lambda$がDCCを満たすとき]
$\i$[示すこと: $\psi$は自己同型]
$\ii$[DCCのもとでは単射ならば全射]より、$\psi$は全射だから自己同型である。
$\i$[示すこと: $\phi$は自己同型]
$\ii$[自己同型の合成と逆]より、$\psi \circ \psi^{-1} = \Id_\Lambda$
$\ii$[結合律]と[単位律]より、$\phi = (\phi \circ \psi) \circ \psi^{-1}$
$\ii$[自己同型の合成と逆]より、自己同型同士の合成$(\phi \circ \psi) \circ \psi^{-1}$は自己同型である。
[$\Lambda$がACCを満たすとき]
$\i$[示すこと: $\phi$は自己同型]
$\ii$[ACCのもとでは全射ならば単射]より、$\phi$は単射だから自己同型である。
$\i$[示すこと: $\psi$は自己同型]
$\ii$[自己同型の合成と逆]より、$\phi^{-1} \circ \phi = \Id_\Lambda$
$\ii$[結合律]と[単位律]より、$\psi = \phi^{-1} \circ (\phi \circ \psi)$
$\ii$[自己同型の合成と逆]より、自己同型同士の合成$\phi^{-1} \circ (\phi \circ \psi)$は自己同型である。
[示すこと: 自己同型でない元全体は$\end(\Lambda)$の両側イデアル]
[i.e.: $\end(\Lambda)$倍で閉じる]
$\i$$\phi \in \end(\Lambda)$を自己同型でない元とする。
$\i$$\chi \in \end(\Lambda)$を取る。
$\i$$\chi \circ \phi$が自己同型だとすると、上より$\phi$は自己同型となり矛盾。
$\i$$\phi \circ \chi$が自己同型だとすると、上より$\phi$は自己同型となり矛盾。
「ACCまたはDCC」という言葉は有限個の項からなる直既約分解を持つこと(FID)と関係していた気がする。
弱められるのか?
$\N := \set{0, 1, 2, \ldots}$
$\Lambda := \powerset(\N)$(包含関係で順序を入れる)
$s: \N \to \N; \ n \mapsto n + 1$
このとき、$\psi_*(X) := s(X)$と$\phi_*(Y) := s^{-1}(Y)$をそれぞれ下随伴とする$\phi, \psi \in \end(\Lambda)$が存在し、以下が成り立つ。
$\i$$\phi \circ \psi = \Id_\Lambda$
$\i$$\phi$と$\psi$はどちらも自己同型でない。
特に、$\Lambda$では自己同型でない元全体は$\end(\Lambda)$の両側イデアルでない。
$\Lambda$は分配束だから、特に有界モジュラー束である。
$i := \N \setminus \set{0}$
$k := \set{0}$
とおく。
[示すこと: $\psi_*(X) = s(X)$を下随伴とする準同型$\psi$があり、$\ker(\psi) = \emptyset$かつ$\im(\psi) = i$]
$\i$$X \mapsto s(X)$は$[\emptyset, \N]$から$[\emptyset, i]$への順序同型であり、逆写像は$Y \mapsto s^{-1}(Y)$である。
$\i$[区間の同型から作る準同型]を$\emptyset \in \Lambda$と$i$とこの順序同型に使えばよい。
[示すこと: $\phi_*(Y) = s^{-1}(Y)$を下随伴とする準同型$\phi$があり、$\ker(\phi) = k$かつ$\im(\phi) = \N$]
$\i$$Y \mapsto s^{-1}(Y)$は$[k, \N]$から$[\emptyset, \N]$への順序同型であり、逆写像は$X \mapsto s(X) \cup \set{0}$である。
$\i$$0 \notin s(\N)$だから、$s^{-1}(Y) = s^{-1}(Y \cup \set{0})$
$\i$よって、[区間の同型から作る準同型]を$k$と$\N$とこの順序同型に使えばよい。
[示すこと: $\phi \circ \psi = \Id_\Lambda$]
$\i$$s$は単射だから、$(\phi \circ \psi)_*(X) = s^{-1}(s(X)) = X$
$\i$[片方が恒等なら恒等]より、$\phi \circ \psi = \Id_\Lambda$
[示すこと: $\phi$と$\psi$はどちらも自己同型でない]
$\i$$\im(\psi) = i \ne \N$だから、$\psi$は全射でない。
$\i$$\ker(\phi) = k \ne \emptyset$だから、$\phi$は単射でない。
[示すこと: 自己同型でない元全体は両側イデアルでない]
$\i$$\phi$は自己同型でないが、$\phi \circ \psi = \Id_\Lambda$は自己同型である。
「組成列を持つ直既約な$M$について、非同型全体$J_M$は$\end_R(M)$の両側イデアル」
このうち「両側から何を掛けても$J_M$に留まる」部分は、[合成が自己同型なら両方自己同型]により、直既約かどうかに関係なく成り立ってしまう。
例えば$\Lambda = \set{0, a, b, 1}$($a, b$は比較不能)は直既約でないが、[合成が自己同型なら両方自己同型]は成り立つ。
したがって、モノイドとしての$\end(\Lambda)$だけを見ても直既約性は捉えられず、本質は「和で閉じる」部分にある。
これを後で$\vee$を使って置き換える。
射影と冪等元
$\Lambda$: 有界モジュラー束
$\phi \in \end(\Lambda)$
$\phi \circ \phi = \phi$のとき、$\phi$は冪等であるという。
$\Lambda$: 有界モジュラー束
$a, b \in \Lambda$: 互いに補元
このとき、任意の$x, y \in \Lambda$に対し、以下が成り立つ。
$\i$$a \vee (b \wedge (x \vee a)) = x \vee a$
$\i$$b \wedge (a \vee (y \wedge b)) = y \wedge b$
[示すこと: $a \vee (b \wedge (x \vee a)) = x \vee a$]
$\i$$a \le x \vee a$だから、モジュラー律より$a \vee (b \wedge (x \vee a)) = (a \vee b) \wedge (x \vee a)$
$\i$$a \vee b = 1$だから、$(a \vee b) \wedge (x \vee a) = x \vee a$
[示すこと: $b \wedge (a \vee (y \wedge b)) = y \wedge b$]
$\i$$y \wedge b \le b$だから、モジュラー律より$(y \wedge b) \vee (a \wedge b) = ((y \wedge b) \vee a) \wedge b$
$\i$$a \wedge b = 0$だから、$(y \wedge b) \vee (a \wedge b) = y \wedge b$
$\Lambda$: 有界モジュラー束
$a, b \in \Lambda$: 互いに補元
$(\varepsilon_{a, b})_*(x) := b \wedge (x \vee a)$
$(\varepsilon_{a, b})^*(y) := a \vee (y \wedge b)$
とおき、$\varepsilon_{a, b} := ((\varepsilon_{a, b})_*, (\varepsilon_{a, b})^*)$を$a$に沿った$b$への射影と呼ぶ。
$\Lambda$: 有界モジュラー束
$a, b \in \Lambda$: 互いに補元
このとき、以下が成り立つ。
- $\varepsilon_{a, b} \in \end(\Lambda)$であり、$\ker(\varepsilon_{a, b}) = a$かつ$\im(\varepsilon_{a, b}) = b$
- $\varepsilon_{a, b}$は冪等である。
- $\forall x \in \Lambda, \ x \le (\varepsilon_{a, b})_*(x) \vee (\varepsilon_{b, a})_*(x)$
$\varepsilon := \varepsilon_{a, b}$とおく。
[示すこと: $\varepsilon$はGalois接続]
$\i$$\varepsilon_*$と$\varepsilon^*$が順序を保つことは明らか。
$\i$$x, y \in \Lambda$を取る。
$\i$[示すこと: $b \wedge (x \vee a) \le y \implies x \le a \vee (y \wedge b)$]
$\ii$$b \wedge (x \vee a) \le y$とする。
$\ii$$b \wedge (x \vee a) \le b$でもあるから、$b \wedge (x \vee a) \le y \wedge b$
$\ii$両辺と$a$の結びを取ると、$a \vee (b \wedge (x \vee a)) \le a \vee (y \wedge b)$
$\ii$[補元についての2つの等式]より、左辺は$x \vee a$である。
$\ii$よって、$x \le x \vee a \le a \vee (y \wedge b)$
$\i$[示すこと: $x \le a \vee (y \wedge b) \implies b \wedge (x \vee a) \le y$]
$\ii$$x \le a \vee (y \wedge b)$とする。
$\ii$$a \le a \vee (y \wedge b)$でもあるから、$x \vee a \le a \vee (y \wedge b)$
$\ii$両辺と$b$の交わりを取ると、$b \wedge (x \vee a) \le b \wedge (a \vee (y \wedge b))$
$\ii$[補元についての2つの等式]より、右辺は$y \wedge b$である。
$\ii$よって、$b \wedge (x \vee a) \le y \wedge b \le y$
[示すこと: $\ker(\varepsilon) = a$かつ$\im(\varepsilon) = b$]
$\i$$\ker(\varepsilon) = a \vee (0 \wedge b) = a$
$\i$$\im(\varepsilon) = b \wedge (1 \vee a) = b$
[示すこと: $\varepsilon$の正則性]
$\i$$x \in \Lambda$を取る。
$\i$$\varepsilon^* \varepsilon_*(x) = a \vee (b \wedge (x \vee a))$
$\i$[補元についての2つの等式]より、$a \vee (b \wedge (x \vee a)) = x \vee a = x \vee \ker(\varepsilon)$
$\i$$y \in \Lambda$を取る。
$\i$$\varepsilon_* \varepsilon^*(y) = b \wedge (a \vee (y \wedge b))$
$\i$[補元についての2つの等式]より、$b \wedge (a \vee (y \wedge b)) = y \wedge b = y \wedge \im(\varepsilon)$
[示すこと: $\varepsilon \circ \varepsilon = \varepsilon$]
$\i$$x \in \Lambda$を取る。
$\i$$\varepsilon_* \varepsilon_*(x) = b \wedge ((b \wedge (x \vee a)) \vee a)$
$\i$[補元についての2つの等式]より、$(b \wedge (x \vee a)) \vee a = x \vee a$
$\i$よって、$\varepsilon_* \varepsilon_*(x) = b \wedge (x \vee a) = \varepsilon_*(x)$
$\i$$\varepsilon \circ \varepsilon$と$\varepsilon$はともにGalois接続であり、下随伴が等しい。
$\i$[上随伴の一意性]より、上随伴も等しい。
[示すこと: $\forall x \in \Lambda, \ x \le (b \wedge (x \vee a)) \vee (a \wedge (x \vee b))$]
$\i$$x \in \Lambda$を取る。
$\i$$u := b \wedge (x \vee a)$
$\i$$v := a \wedge (x \vee b)$
$\i$$w := u \vee v$
$\i$とおく。
$\i$[示すこと: $(x \vee w) \wedge b \le w$]
$\ii$$u \le x \vee a$かつ$v \le a$だから、$x \vee w \le x \vee a$
$\ii$よって、$(x \vee w) \wedge b \le (x \vee a) \wedge b = u \le w$
$\i$[示すこと: $x \vee w \le w \vee b$]
$\ii$[補元についての2つの等式]を補元の組$b, a$に適用すると、$b \vee (a \wedge (x \vee b)) = x \vee b$
$\ii$すなわち、$v \vee b = x \vee b$
$\ii$よって、$x \le x \vee b = v \vee b \le w \vee b$
$\ii$$w \le w \vee b$でもあるから、$x \vee w \le w \vee b$
$\i$$w \le x \vee w$だから、モジュラー律より$w \vee (b \wedge (x \vee w)) = (w \vee b) \wedge (x \vee w)$
$\i$$x \vee w \le w \vee b$より、右辺は$x \vee w$である。
$\i$$(x \vee w) \wedge b \le w$より、左辺は$w$である。
$\i$よって、$x \vee w = w$であり、$x \le w$
$\Lambda$: 有界モジュラー束
$e \in \end(\Lambda)$: 冪等
このとき、$\ker(e)$と$\im(e)$は互いに補元であり、$e = \varepsilon_{\ker(e), \im(e)}$である。
特に、$e \mapsto (\ker(e), \im(e))$は、$\end(\Lambda)$の冪等元全体から互いに補元である元の組$(a, b)$全体への全単射であり、逆写像は$(a, b) \mapsto \varepsilon_{a, b}$である。
$a := \ker(e), \ b := \im(e)$とおく。
[示すこと: $a$と$b$は互いに補元]
$\i$[合成の核と像]と$e \circ e = e$より、$e^*(a) = \ker(e \circ e) = a$
$\i$[合成の核と像]と$e \circ e = e$より、$e_*(b) = \im(e \circ e) = b$
$\i$[核と像が補元になる条件]より、$a$と$b$は互いに補元である。
[示すこと: $\forall z \le b, \ e_*(z) = z$]
$\i$$z \le b$とする。
$\i$$e$の正則性(第2式)より、$e_*(e^*(z)) = z \wedge b = z$
$\i$よって、$e_*(z) = e_*(e_*(e^*(z)))$
$\i$$e_* \circ e_* = e_*$だから、$e_*(e_*(e^*(z))) = e_*(e^*(z)) = z$
[示すこと: $\forall x \in \Lambda, \ e_*(x) = b \wedge (x \vee a)$]
$\i$$x \in \Lambda$を取る。
$\i$[吸収の基本事実]より、$e_*(a) = 0$
$\i$$e_*$は結びを保つから、$e_*(x \vee a) = e_*(x) \vee e_*(a) = e_*(x)$
$\i$一方、[補元についての2つの等式]より、$x \vee a = a \vee (b \wedge (x \vee a))$
$\i$$e_*$は結びを保つから、$e_*(x \vee a) = e_*(a) \vee e_*(b \wedge (x \vee a))$
$\i$$b \wedge (x \vee a) \le b$だから、上で示したことより、右辺は$0 \vee (b \wedge (x \vee a)) = b \wedge (x \vee a)$である。
$\i$以上より、$e_*(x) = b \wedge (x \vee a)$
$e$と$\varepsilon_{a, b}$の下随伴が等しいから、[上随伴の一意性]より、$e = \varepsilon_{a, b}$
[示すこと: $e \mapsto (\ker(e), \im(e))$は全単射で、逆写像は$(a, b) \mapsto \varepsilon_{a, b}$]
$\i$$E$を$\end(\Lambda)$の冪等元全体とする。
$\i$$C$を$\Lambda$の補元の対全体とする。
$\i$$f: E \to C; e \mapsto (\ker(e), \im(e))$とする。
$\i$$g: C \to E; (a, b) \mapsto \varepsilon_{a, b}$とする。
$\i$[示すこと: $f \circ g = \id_C$]
$\ii$$(a, b) \in C$を取る。
$\ii$$f(g(a, b))$
$\iii$$= f(\varepsilon_{a, b})$
$\iii$$= (\ker(\varepsilon_{a, b}), \im(\varepsilon_{a, b}))$
$\iii$$= (a, b)$
$\i$[示すこと: $g \circ f = \id_E$]
$\ii$$e \in E$を取る。
$\ii$$g(f(e))$
$\iii$$= g(\ker(e), \im(e))$
$\iii$$= \varepsilon_{\ker(e), \im(e)}$
$\iii$$= e$
加群$M$の直和分解$M = X \boxplus Y$と$\end_R(M)$の冪等元(射影)の対応の束における類似である。
$\Lambda$: 直既約な有界モジュラー束
$e \in \end(\Lambda)$: 冪等
このとき、$e = 0_{\Lambda, \Lambda}$または$e = \Id_\Lambda$
[冪等元と補元の組]より、$\ker(e)$と$\im(e)$は互いに補元である。
$\Lambda$は直既約だから、$\ker(e) = 0$または$\im(e) = 0$である。
[$\im(e) = 0$のとき]
$\i$[零準同型]より、$e = 0_{\Lambda, \Lambda}$
[$\ker(e) = 0$のとき]
$\i$$\im(e) = \im(e) \vee \ker(e) = 1$
$\i$よって、任意の$x \in \Lambda$について$e_*(x) = (\varepsilon_{0, 1})_*(x) = 1 \wedge (x \vee 0) = x$
$\i$[片方が恒等なら恒等]より、$e = \Id_\Lambda$
局所性
準同型同士の結び([Galois接続の順序と結び])は準同型とは限らない。
$\Lambda := \set{0, a, b, 1}$($a, b$は比較不能)とする。
$\Lambda$は分配束なので、特にモジュラー束である。
$a$と$b$を入れ替える写像を$\sigma_*$とすると、[逆写像補題]より$\sigma := (\sigma_*, \sigma_*)$は自己同型である。
$(\sigma \vee \varepsilon_{a, b})_*$は$0, a, b, 1$をそれぞれ$0, b, 1, 1$に送る。
$\ker(\sigma \vee \varepsilon_{a, b}) = \sigma_*(0) \wedge a = 0$である。
よって、$\sigma \vee \varepsilon_{a, b}$が正則ならば、正則性(第1式)より下随伴は単射になるはずである。
しかし$(\sigma \vee \varepsilon_{a, b})_*$は単射でないから、$\sigma \vee \varepsilon_{a, b}$は正則でない。
$\Lambda$: 有界モジュラー束
$\end(\Lambda)$が局所的であるとは、以下を満たすことをいう。
$\i$$0 \ne 1$
$\i$$\forall \phi, \psi \in \end(\Lambda), \ (\Id_\Lambda \le \phi \vee \psi \implies \phi$または$\psi$は自己同型$)$
$\Id_\Lambda \le \phi \vee \psi$は、$\forall x \in \Lambda, \ x \le \phi_*(x) \vee \psi_*(x)$と同じことである。
環$S$が局所環であることは、「$1 \ne 0$かつ、$a + b = 1$ならば$a$または$b$は単元」と同値である。
$\end(\Lambda)$には和がないので、$a + b = 1$を$\Id_\Lambda \le \phi \vee \psi$で置き換えたのが上の定義である。
加群の自己準同型$f, g$が$f + g = \id_M$を満たせば、任意の部分加群$X$について$X \subset f(X) + g(X)$となることが動機である。(次の記事を参照)
$\Lambda$: 有界モジュラー束
$0 \ne 1$
このとき、以下は同値である。
- $\end(\Lambda)$は局所的
- 自己同型でない$\phi, \psi \in \end(\Lambda)$と自己同型$\chi \in \end(\Lambda)$について、$\chi \le \phi \vee \psi$とはならない
[示すこと: 2 $\implies$ 1]
$\i$$\phi, \psi \in \end(\Lambda)$が$\Id_\Lambda \le \phi \vee \psi$を満たすとする。
$\i$$\Id_\Lambda$は自己同型だから、2より$\phi$または$\psi$は自己同型である。
[示すこと: 1 $\implies$ 2]
$\i$自己同型でない$\phi, \psi$と自己同型$\chi$が$\chi \le \phi \vee \psi$を満たすと仮定して矛盾を導く。
$\i$$\phi' := \chi^{-1} \circ \phi$
$\i$$\psi' := \chi^{-1} \circ \psi$
$\i$とおく。
$\i$[示すこと: $\Id_\Lambda \le \phi' \vee \psi'$]
$\ii$$x \in \Lambda$を取る。
$\ii$$\chi_*(x) \le \phi_*(x) \vee \psi_*(x)$であり、$\chi^*$は順序を保つから、$\chi^*(\chi_*(x)) \le \chi^*(\phi_*(x) \vee \psi_*(x))$
$\ii$$\chi$の正則性(第1式)と$\ker(\chi) = 0$より、左辺は$x$である。
$\ii$[自己同型の合成と逆]より$\chi^*$は結びを保つから、右辺は$\chi^*(\phi_*(x)) \vee \chi^*(\psi_*(x))$である。
$\ii$$(\chi^{-1})_* = \chi^*$だから、右辺は$\phi'_*(x) \vee \psi'_*(x)$である。
$\i$1より、$\phi'$または$\psi'$は自己同型である。
$\i$[$\phi'$が自己同型のとき]
$\ii$[自己同型の合成と逆]と[結合律]・[単位律]より、$\chi \circ \phi' = (\chi \circ \chi^{-1}) \circ \phi = \phi$
$\ii$[自己同型の合成と逆]より$\chi \circ \phi'$は自己同型だから、$\phi$は自己同型となり矛盾。
$\i$[$\psi'$が自己同型のとき]
$\ii$同様に、$\psi$は自己同型となり矛盾。
2は「$a, b$が非単元ならば$a + b$も非単元」に対応している。
$\Lambda$: 有界モジュラー束
$\phi, \psi \in \end(\Lambda)$
$\Id_\Lambda \le \phi \vee \psi$
$\psi$: 冪零
このとき、$\phi$は自己同型である。
$\psi^n = 0_{\Lambda, \Lambda}$となる$n \ge 1$を取る。
[冪の核と像]より、$(\psi_*)^n = (\psi^n)_*$であり、これは定値写像$0$である。
[示すこと: $\ker(\phi) = 0$]
$\i$$c := \ker(\phi)$とおく。
$\i$[示すこと: $c \le \psi_*(c)$]
$\ii$[吸収の基本事実]より、$\phi_*(c) = 0$
$\ii$$\Id_\Lambda \le \phi \vee \psi$より、$c \le \phi_*(c) \vee \psi_*(c) = \psi_*(c)$
$\i$[示すこと: $\forall k \ge 1, \ c \le (\psi_*)^k(c)$]
$\ii$$k$についての帰納法で示す。
$\ii$$k = 1$のときは上で示した。
$\ii$$c \le (\psi_*)^k(c)$とする。
$\ii$$\psi_*$は順序を保つから、$\psi_*(c) \le (\psi_*)^{k + 1}(c)$
$\ii$$c \le \psi_*(c)$と合わせて、$c \le (\psi_*)^{k + 1}(c)$
$\i$$k := n$とすると、$c \le (\psi_*)^n(c) = 0$
$\i$よって、$\ker(\phi) = c = 0$
[示すこと: $\im(\phi) = 1$]
$\i$$i := \im(\phi)$とおく。
$\i$[示すこと: $\forall x \in \Lambda, \ x \le i \vee \psi_*(x)$]
$\ii$$x \in \Lambda$を取る。
$\ii$$x \le 1$であり、$\phi_*$は順序を保つから、$\phi_*(x) \le \phi_*(1) = i$
$\ii$$\Id_\Lambda \le \phi \vee \psi$より、$x \le \phi_*(x) \vee \psi_*(x) \le i \vee \psi_*(x)$
$\i$[示すこと: $\forall k \ge 1, \ 1 \le i \vee (\psi_*)^k(1)$]
$\ii$$k$についての帰納法で示す。
$\ii$$k = 1$のときは上で$x := 1$とすればよい。
$\ii$$1 \le i \vee (\psi_*)^k(1)$とする。
$\ii$上で$x := (\psi_*)^k(1)$とすると、$(\psi_*)^k(1) \le i \vee (\psi_*)^{k + 1}(1)$
$\ii$よって、$i \vee (\psi_*)^k(1) \le i \vee (\psi_*)^{k + 1}(1)$
$\ii$したがって、$1 \le i \vee (\psi_*)^{k + 1}(1)$
$\i$$k := n$とすると、$1 \le i \vee (\psi_*)^n(1) = i \vee 0 = i$
$\i$よって、$\im(\phi) = i = 1$
環では「$\psi$が冪零ならば$1 - \psi$は単元」である。
[冪零元を含む被覆]では、$1 - \psi$の代わりに「$\psi$と合わせて$\Id_\Lambda$以上になる$\phi$」を考えている。
主定理
$\Lambda$: 有限長モジュラー束
$0 \ne 1$
このとき、以下は同値である。
$\i$1. $\Lambda$は直既約
$\i$2. $\end(\Lambda)$の冪等元は$0_{\Lambda, \Lambda}$と$\Id_\Lambda$だけ
$\i$3. $\end(\Lambda)$の任意の元は自己同型または冪零
$\i$4. $\end(\Lambda)$は局所的
1 $\implies$ 3 $\implies$ 4 $\implies$ 1と、3 $\implies$ 2 $\implies$ 1を示す。
[示すこと: 1 $\implies$ 3]
$\i$[直既約なら全単射か冪零]そのものである。
[示すこと: 3 $\implies$ 4]
$\i$$0 \ne 1$は仮定されている。
$\i$$\phi, \psi \in \end(\Lambda)$が$\Id_\Lambda \le \phi \vee \psi$を満たすとする。
$\i$[示すこと: $\psi$は自己同型 または $\phi$は自己同型]
$\i$[i.e.: $\psi$が自己同型でない ならば $\phi$は自己同型]
$\ii$$\psi$が自己同型でないとすると、3より$\psi$は冪零である。
$\ii$このとき、[冪零元を含む被覆]より$\phi$は自己同型である。
[示すこと: 4 $\implies$ 1]
$\i$$a, b \in \Lambda$を互いに補元とする。
$\i$[射影の性質]より、$\varepsilon_{a, b}, \varepsilon_{b, a} \in \end(\Lambda)$であり、$\Id_\Lambda \le \varepsilon_{a, b} \vee \varepsilon_{b, a}$
$\i$4より、$\varepsilon_{a, b}$または$\varepsilon_{b, a}$は自己同型である。
$\i$$\varepsilon_{a, b}$が自己同型ならば、$a = \ker(\varepsilon_{a, b}) = 0$
$\i$$\varepsilon_{b, a}$が自己同型ならば、$b = \ker(\varepsilon_{b, a}) = 0$
[示すこと: 3 $\implies$ 2]
$\i$$e \in \end(\Lambda)$を冪等元とする。
$\i$[$e$が自己同型のとき]
$\ii$[自己同型の合成と逆]より、$e^{-1} \circ e = \Id_\Lambda$
$\ii$[結合律]と[単位律]より、$e = (e^{-1} \circ e) \circ e = e^{-1} \circ (e \circ e)$
$\ii$$e \circ e = e$だから、$e^{-1} \circ (e \circ e) = e^{-1} \circ e = \Id_\Lambda$
$\ii$よって、$e = \Id_\Lambda$
$\i$[$e$が冪零のとき]
$\ii$$e \circ e = e$より、帰納的に任意の$n \ge 1$で$e^n = e$
$\ii$$e^n = 0_{\Lambda, \Lambda}$となる$n$を取れば、$e = 0_{\Lambda, \Lambda}$
[示すこと: 2 $\implies$ 1]
$\i$$a, b \in \Lambda$を互いに補元とする。
$\i$[射影の性質]より、$\varepsilon_{a, b}$は冪等元である。
$\i$2より、$\varepsilon_{a, b} = 0_{\Lambda, \Lambda}$または$\varepsilon_{a, b} = \Id_\Lambda$
$\i$$\varepsilon_{a, b} = 0_{\Lambda, \Lambda}$ならば、$b = \im(\varepsilon_{a, b}) = 0$
$\i$$\varepsilon_{a, b} = \Id_\Lambda$ならば、$a = \ker(\varepsilon_{a, b}) = 0$
$\i$$0 \ne 1$と合わせて、$\Lambda$は直既約である。
各矢印で使った仮定は次のとおりである。
$\i$3 $\implies$ 4、4 $\implies$ 1、3 $\implies$ 2、2 $\implies$ 1は、$0 \ne 1$を満たす任意の有界モジュラー束で成り立つ。
$\i$1 $\implies$ 3はACCとDCCの両方を使う([Fittingの補題(抽象版)])。
$\i$なお、[直既約なら冪等元は零と恒等だけ]より、1 $\implies$ 2も任意の有界モジュラー束で成り立つ。
モジュラー性は、準同型の合成が準同型になることと、射影$\varepsilon_{a, b}$が準同型になることに使った。
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