Sears-Carlitzの変換公式

$n$ を非負整数として, $a = q^{- n}$ とするとき,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ a q / b, a q / c \end{array}; \frac{a q x}{b c}] & = \frac{(a x; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}}_{5} ϕ_{4} [\begin{array}{c} a q / b c, \sqrt{a}, - \sqrt{a}, \sqrt{a q}, - \sqrt{a q} \\ a q / b, a q / c, a x, q / x \end{array}; q] \end{aligned}$
が成り立つ.

$q$ -Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \frac{(b, c; q)_{k}}{(a q / b, a q / c; q)_{k}} {(\frac{a q}{b c})}^{k} & =_{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a q / b c, a q^{k}, q^{- k} \\ a q / b, a q / c \end{array}; q] \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ a q / b, a q / c \end{array}; \frac{a q x}{b c}] & = \sum_{0 \leq k} \frac{(a; q)_{k}}{(q; q)_{k}} x^{k} \sum_{j = 0}^{k} \frac{(a q / b c, a q^{k}, q^{- k}; q)_{j}}{(a q / b, a q / c, q; q)_{j}} \\ = \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a q / b c; q)_{j}}{(a q / b, a q / c, q; q)_{j}} (- 1)^{j} q^{(\binom{j + 1}{2})} \sum_{k = j}^{n} \frac{(a; q)_{k + j}}{(q; q)_{k - j}} (x q^{- j})^{k} \\ = \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a q / b c; q)_{j} (a; q)_{2 j}}{(a q / b, a q / c, q; q)_{j}} (- x)^{j} q^{- (\binom{j}{2})} \sum_{k = 0}^{n - j} \frac{(a q^{2 j}; q)_{k}}{(q; q)_{k}} (x q^{- j})^{k} \end{aligned}$
ここで, $a = q^{- n}$ であるから, $q$ 二項定理より,
$\begin{array}{r} \sum_{k = 0}^{n - j} \frac{(a q^{2 j}; q)_{k}}{(q; q)_{k}} (x q^{- j})^{k} = \frac{(a q^{j} x; q)_{\infty}}{(x q^{- j}; q)_{\infty}} = \frac{(a x; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} \frac{{(- \frac{q}{x})}^{j} q^{(\binom{j}{2})}}{(a x, q / x; q)_{j}} \end{array}$
であるから,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ a q / b, a q / c \end{array}; \frac{a q x}{b c}] & = \frac{(a x; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a q / b c; q)_{j} (a; q)_{2 j}}{(a q / b, a q / c, a x, q / x, q; q)_{j}} q^{j} \end{aligned}$
を得る. $(a; q)_{2 j} = (\sqrt{a}, - \sqrt{a}, \sqrt{a q}, - \sqrt{a q}; q)_{j}$ を用いて定理を得る.

これは $_{3} F_{2}$ 超幾何級数における変換公式
$\begin{aligned} _{3} F_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ 1 + a - b, 1 + a - c \end{array}; x] & = \frac{1}{(1 - x)^{a}}_{3} F_{2} [\begin{array}{c} 1 + a - b - c, \frac{a}{2}, \frac{a + 1}{2} \\ 1 + a - b, 1 + a - c \end{array}; - \frac{4 x}{(1 - x)^{2}}] \end{aligned}$
の $a = - n$ の場合の $q$ 類似である. $a = q^{- n}$ であるという条件がない場合への一般化として,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ a q / b, a q / c \end{array}; \frac{a q x}{b c}] \\ = \frac{(a x; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}}_{5} ϕ_{4} [\begin{array}{c} a q / b c, \sqrt{a}, - \sqrt{a}, \sqrt{a q}, - \sqrt{a q} \\ a q / b, a q / c, a x, q / x \end{array}; q] \\ + \frac{(a, a q / b c, a q x / b, a q x / c; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, a q x / b c, 1 / x; q)_{\infty}}_{5} ϕ_{4} [\begin{array}{c} a q x / b c, x \sqrt{a}, - x \sqrt{a}, x \sqrt{a q}, - x \sqrt{a q} \\ a q x / b, a q x / c, x q, a x^{2} \end{array}; q] \end{aligned}$
がGasper-Rahmanによって示されている.