Sears-Carlitzの変換公式
$n$を非負整数として, $a=q^{-n}$とするとき,
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{aq/b,aq/c}{\frac{aqx}{bc}}&=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q54{aq/bc,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{aq/b,aq/c,ax,q/x}{q}
\end{align}
が成り立つ.
$q$-Saalschützの和公式より,
\begin{align}
\frac{(b,c;q)_k}{(aq/b,aq/c;q)_k}\left(\frac{aq}{bc}\right)^k&=\Q32{aq/bc,aq^k,q^{-k}}{aq/b,aq/c}q
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{aq/b,aq/c}{\frac{aqx}{bc}}&=\sum_{0\leq k}\frac{(a;q)_k}{(q;q)_k}x^k\sum_{j=0}^k\frac{(aq/bc,aq^k,q^{-k};q)_j}{(aq/b,aq/c,q;q)_j}\\
&=\sum_{j=0}^n\frac{(aq/bc;q)_j}{(aq/b,aq/c,q;q)_j}(-1)^jq^{\binom{j+1}2}\sum_{k=j}^n\frac{(a;q)_{k+j}}{(q;q)_{k-j}}(xq^{-j})^k\\
&=\sum_{j=0}^n\frac{(aq/bc;q)_j(a;q)_{2j}}{(aq/b,aq/c,q;q)_j}(-x)^jq^{-\binom j2}\sum_{k=0}^{n-j}\frac{(aq^{2j};q)_{k}}{(q;q)_{k}}(xq^{-j})^k\\
\end{align}
ここで, $a=q^{-n}$であるから, $q$二項定理より,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{n-j}\frac{(aq^{2j};q)_{k}}{(q;q)_{k}}(xq^{-j})^k=\frac{(aq^{j}x;q)_{\infty}}{(xq^{-j};q)_{\infty}}=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\frac{\left(-\frac qx\right)^jq^{\binom j2}}{(ax,q/x;q)_j}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{aq/b,aq/c}{\frac{aqx}{bc}}&=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\sum_{j=0}^n\frac{(aq/bc;q)_j(a;q)_{2j}}{(aq/b,aq/c,ax,q/x,q;q)_j}q^j
\end{align}
を得る. $(a;q)_{2j}=(\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq};q)_j$を用いて定理を得る.
これは${}_3F_2$超幾何級数における変換公式
\begin{align}
\F32{a,b,c}{1+a-b,1+a-c}{x}&=\frac 1{(1-x)^a}\F32{1+a-b-c,\frac a2,\frac{a+1}2}{1+a-b,1+a-c}{-\frac{4x}{(1-x)^2}}
\end{align}
の$a=-n$の場合の$q$類似である. $a=q^{-n}$であるという条件がない場合への一般化として,
\begin{align}
&\Q32{a,b,c}{aq/b,aq/c}{\frac{aqx}{bc}}\\
&=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q54{aq/bc,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{aq/b,aq/c,ax,q/x}q\\
&\qquad+\frac{(a,aq/bc,aqx/b,aqx/c;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aqx/bc,1/x;q)_{\infty}}\Q54{aqx/bc,x\sqrt a,-x\sqrt a,x\sqrt{aq},-x\sqrt{aq}}{aqx/b,aqx/c,xq,ax^2}q
\end{align}
がGasper-Rahmanによって示されている.
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