【和訳】Fontene's Theorems の主張と証明

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　8割くらい自分用の備忘録みたいなものです．

　タイトルより多い情報は載っていません．
　エアプなのでいろいろ汚いと思います．
　必要知識はないです（船旅1~4章？）

第一フォントネーの定理

Fontene's First Theorem

　三角形 $A B C$ と点 $P$ について，その中点三角形を $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ とし， $P$ の垂足三角形を $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ とする．直線 $B_{1} C_{1}$ と直線 $B_{2} C_{2}$ の交点を $X$ ，直線 $A_{1} C_{1}$ と直線 $A_{2} C_{2}$ の交点を $Y$ ，直線 $A_{1} B_{1}$ と直線 $A_{2} B_{2}$ の交点を $Z$ とすると，3直線 $A_{2} X, B_{2} Y, C_{2} Z$ および2円 $(A_{1} B_{1} C_{1}), (A_{2} B_{2} C_{2})$ は1点で交わる．

主張は黄の共点

　 $(A B C), (A_{1} B_{1} C_{1}), (A_{2} B_{2} C_{2})$ の中心をそれぞれ $O, E, O^{'}$ とする．

　 $A$ から直線 $O P$ に降ろした垂線の足を $F$ とし， $A_{2}$ を $B_{1} C_{1}$ に関し対称移動した点を $L$ とする．

　いま明らかに $A L ∥ B C$ であるから， $∠ A L P = 90^{\circ}$ である．

　 $A, C_{2}, P, F, B_{2}$ は $(A P)$ 上にあり， $A, C_{1}, F, O, B_{1}$ は $(A O)$ 上にあるから， $∠ F C_{1} X = ∠ F A B_{1} = ∠ B_{2} C_{2} F = ∠ X C_{2} F$ が得られ， $C_{1}, X, F, C_{2}$ は共円．

　直線 $F X$ と $(A P)$ の交点を $L^{'}$ とするとReimの定理（aminoの補題）から $A L^{'} ∥ B_{1} C_{1}$ がわかるから $L = L^{'}$ ，すなわち $L, X, F$ は共線．

　直線 $A_{2} X$ と $(A_{1} B_{1} C_{1})$ の交点を $Q$ し， $Q$ を直線 $B_{1} C_{1}$ に関し対称移動した点を $F^{'}$ とする．直線 $B_{1} C_{1}$ に関する対称変換を $S_{B_{1} C_{1}}$ とする．いま $S_{B_{1} C_{1}}$ で $A$ は $A$ から $B C$ に降ろした垂線の足にうつるが，これは $△ A B C$ の九点円 $(A_{1} B_{1} C_{1})$ 上にある．したがって $F$ は $(A O)$ 上にあるとわかる．

　さらに $S_{B_{1} C_{1}}$ は $A_{2}$ を $L$ にうつす．これと $A_{2}, X, Q$ の共線をあわせ $L, X, F^{'}$ の共線がわかる．以上より $F = F^{'}$ であるとわかる．したがって $X L \times X F = X Q \times X A_{2} = X B_{2} \times X C_{2}$ であるから $Q$ は $(A_{2} B_{2} C_{2})$ 上にある．よって示された．

第二フォントネーの定理（直線の方）

Fontene's Second Theorem（直線の方）

　三角形 $A B C$ とその外心 $O$ を通る定直線 $d$ に対し， $d$ 上を点 $P$ が動くとき， $P$ の垂足円は九点円上の定点を通る．

!FORMULA[69][37112][0]が青線上を動くとき!FORMULA[70][37143][0]が定点 $P$ が青線上を動くとき $Q$ が定点

　上の証明（ $Q$ と $F$ が $B_{1} C_{1}$ に関し対称）と， $O$ が $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ の垂心であることをあわせて $Q$ は $d$ の九点円に対する反シュタイナー点である．特にこれは定点であるから示された．

第三フォントネーの定理

Fontene's Third Theorem

　三角形 $A B C$ と点 $P$ について， $P_{0}$ を $P$ の等角共役点とすると， $P$ の垂足円が九点円と接することは $O, P, P_{0}$ が共線であることと同値．

　 $(A_{1} B_{1} C_{1})$ と $(A_{2} B_{2} C_{2})$ が再び交わる点を $Q^{'}$ とすると， $Q^{'}$ は $O P_{0}$ の反シュタイナー点であることがわかる．いま $Q = Q^{'}$ であることは2直線 $O P, O P_{0}$ が一致することと同値であるから示された．