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ホモクリニック点はどのようにカオスを生み出すか #1 〜直感的な仕組み〜

このシリーズとこの記事の目的

(横断的)ホモクリニック点というのは、その存在だけでカオス的な現象の存在を保証してしまう、とんでもない点のことです。(他にも色々面白いよ)
私はホモクリニック点が大好きなのでそれを好き勝手に解説したいので、mathlog に書き殴っていこうと思います。
具体的な証明などは大変複雑なので、シリーズとして書いていこうと思います。

力学系という分野では、空間内の点が何かしらの規則に従って動くとき、その軌道の性質を調べます。ずっと動かない点や、逆に空間全体を満遍なく通っていく点もあります。ホモクリニック点というのは、未来と過去に特定の位置に収束していくような性質を持つ点です。このホモクリニック点自体は、過去も未来も予測しやすい簡単な軌道を描いていますが、実はこのような点の存在を仮定するだけで、空間の色々な場所に、予測不可能な動きをする(カオス的な)部分が大量に現れるのです。

一見不思議なことを言っていますが、実はとても直感的な原理によってこの現象が起こっています。#1 では、イントロダクションとして、ホモクリニック点からカオスに繋がるおおまかな道筋を証明等抜きに説明します。

この記事の主張:

横断的ホモクリニック点の存在 $\Rightarrow$ カオス的な現象

#2 以降は、厳密性を多少荒くした上で実際に証明していきます。

イントロダクション: カオスって何

大雑把には？

数学におけるカオスとは、大雑把には次のようなものを指します。

動くモノの未来を予測したいのに、初期条件とかが少しズレただけで全然違う挙動をするから、近似計算によって未来が予測できない！

例えばビリヤード球を摩擦のないビリヤード台上でテキトーに打つ時、少しでも角度が違ったら、遠い未来では全く違う挙動を描いていることでしょう。

カオスに厳密な定義とかあるの？

色々な人がカオスの定義を提案していますが、全員が信じている定義はないです。厳密な定義には興味を持たれていない印象です。複雑な現象を起こしていたら、とりあえずカオス"的"と言ってしまうことが多いのではないでしょうか。

ただ、おそらく重視されているのは

初期値が少しでも違えば遠い未来では違う挙動をする。
動くモノの軌道が空間全体を駆け巡る

という点でしょう。2. の条件はおそらく、"少し違う角度でボールを投げたら無限遠方では全然違う場所に行きます" みたいな、複雑じゃないけど1.を満たしてそうな挙動を省くためですね。

力学系理論とその用語を知ろう

力学系ってなに

そろそろもっと数学チックな話にしていきましょう。
カオスという言葉は、力学系という分野で使われます。"動くモノ"を物理学ではなく純粋数学として観察する理論です。

力学系

集合$X$上と写像$f:X \to X$の組$(X, f)$を離散力学系という。$f^n$ で $f$ を$n$回合成した写像を表す。($n < 0$ の場合は、$f^{-1}$を$|n|$回合成した写像を表す。)

集合$X$上の写像族$f = \{f^t: X \to X\}_{t \in \mathbb{R}}$が$f^{s + t} = f^s \circ f^t$ を満たすとき組$(X, f)$を連続力学系という。(微分方程式の解などはこの条件を満たす)

ついでに周期点も定義しよう。力学系において、$f^T(p) = p$を満たす点$p \in X$を周期$T$の周期点という。($T$は最小の値でなくても良く、力学系の文脈ではあまり気にされないイメージ)
全ての$T \geq 0 $に対して$T$周期点となる点を不動点という。

つまりは、$f$という規則に従って点が動くとき、その挙動を知りたいというわけですね。離散力学系について補足すると、これは写像をくり返し作用させていったときの挙動に興味を持っているということです。例えば周期点がいくつある〜とか、空間全体でどう振る舞う〜とかです。

もう少し具体例に即して雑に言えば、
離散力学系は、$x_{n+1} = f(x_n)$ の解のことであり、
連続力学系は、$\frac{dx(t)}{dt} = F(x(t))$ の解のことです。(f^t = x(t))

この空間$X$というのは、位相空間であったり多様体であったり測度空間であったり、色々なものが使われ、その都度別々の理論が構築されたりそれが組み合わさったりします。

最後に補足しますが、連続力学系は離散力学系に変換することができるため、今後は離散力学系についてのみ扱うこととします。(というか自分が連続力学系を全然知らない)

離散力学系

離散力学系の例

抽象的な定義だったので、わかりづらく感じた方のために、簡単な例を1つ提示します。今後の議論には一切登場しないので、飛ばしても問題ないです。

$\mu > 0$として、$[0, 1]$上の関数$f_\mu (x) := \mu x(1 - x)$ (ロジスティック写像)が為す力学系の挙動を少しだけ見てみましょう。

入門的な内容である、不動点付近の挙動の解析をしてみましょう。

不動点は$p_1 = 0, p_2 = 1 - \frac{1}{\mu}$のみです。$f_\mu(x) = x$を解くとわかります。

$$ |f^n(x) - f^n(p_1)| < {\mu'}^n|x - p_1| \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$

ということです。つまり、$p_1$付近の点は$f_\mu$を繰り返し作用させていくと$p_1$に収束していくことがわかりました。(漸近安定)
もう一方の不動点である$p_2$における微分は絶対値が$1$を超えてしまいます。これは逆に$p_2$ 付近の点が$p_2$から離れていくことを意味しています。(不安定)

同じような微分による解析を続けることで、以下のような考察をできます。

$\mu \in (0, 1)$ のときは、$p_1$ は漸近安定, $p_2$ は不安定
$\mu \in (1, 3)$ のときは、$p_1$ は不安定, $p_2$ は漸近安定
$\mu > 2 + \sqrt{5}$ のときは、全ての点が不安定な挙動 $\Rightarrow$ めっちゃカオス的になる！

ちなみに、微分がちょうど1になるような場合は微分だけでは何も判断ができないため、力学系では嫌われがちです。

ホモクリニック点って何？

ホモクリニック点の定義の意味は簡単なので、先にそちらを説明しましょう。ホモクリニック点とはすなわち

時間正方向の軌道$q, f(q), f^2(q), ...$と負方向の軌道$q, f^{-1}(q), f^{-2}(q), ...)$が同じ"双曲型"周期軌道に収束する

を満たすような点 $q$ のことです。双曲型ってのは一旦無視しましょう。つまり、この点$q$の(負方向も含めた)軌道は周期点$p$を出発して周期点$p$に戻ってくるような動きをすることになります。周期点だとわかりづらいので、不動点だと思っても良いです。

不動点に対するホモクリニック点

もう少し力学系の言葉を使って定義してみましょう。
ホモクリニック現象は主に多様体上の力学系での現象です。
微分可能性のレギュラリティとかの細かい条件は一旦放置です。

安定多様体, 不安定多様体

$M$をコンパクトリーマン多様体, $d$を$M$上の距離、$f: M \to M$を微分同相写像とする。
$x \in M$ に対して
\begin{align} W^s(x) &:= \{y \in M : \lim_{n \to \infty}d(f^n(x), f^n(y)) \to 0\} \\ W^u(x) &:= \{y \in M : \lim_{n \to \infty}d(f^{-n}(x), f^{-n}(y)) \to 0\} \end{align}
として、$W^s(x), W^u(x)$ をそれぞれ$x$の安定集合, 不安定集合 という。
$x$が特定の条件を満たしている時、安定多様体, 不安定多様体などもいう。

つまり安定集合とは、$x$の軌道に収束していくような点の集合ということですね。不安定集合とは、それの時間負方向バージョンです。

特定の条件というのは"双曲集合上の点である"という条件ですが、このシリーズの別の記事で書こうと思います。この条件を満たすと、安定集合たちはそれぞれはめ込まれた開球になります(安定多様体定理)。球というのはすごい簡単な形をしているため、扱いやすいわけですね。

コンパクトリーマン多様体ってなんだよって方へ

滑らかな閉じた曲面だと思ってください。例えば円や球の表面とか、ドーナツの表面とかもそうですね。
微分同相写像というのは、全単射な微分可能な写像で、逆写像も微分可能なものです。曲面上の微分ってなんだよ！ってなる人は、曲面もめっちゃ局所的に見たら平面に見えるから(地球みたいに)、そこで微分する的なノリだと思ってください。
まあこの記事なら、めっちゃ都合の良いユークリッド空間$\mathbb{R}^n$ぐらいの認識でもOK!(間違ってはいるけど)

ホモクリニック点とは、時間正方向にも負方向にも周期軌道に収束していく点でしたね。では定義が簡単です。今回も双曲型という言葉は無視してください。

ホモクリニック点

$M, d, f$は上と同じ条件を満たすとする。$p \in M$を双曲型周期点とするとき、$q \in M$が$p$のホモクリニック点であるとは
$$q \in W^s(p) \cap W^u(p) \setminus\{p\}$$
を満たす場合をいう。

さらに、$q$において$W^s(p), W^u(p)$が横断的に交わるとき$q$は横断的ホモクリニック点といい、この現象をホモクリニック交差という。そうでない場合はホモクリニック接触などと呼ばれる。

2種類のホモクリニック点

横断的って何？そうじゃない場合と何が違うの？

横断的というのは、$W^s$が$W^u$に接するように交わるのではなく突き抜けているような状態です。それぞれが1次元(つまり線)の場合を考えれば想像しやすいでしょう。

同じホモクリニック現象でも、ホモクリニック交差とホモクリニック接触は結構性質が違います。接触してる状態というのは、少しズラしただけで維持できなくなるので、ホモクリニック接触の方が扱いが難しそうです。

馬蹄

当初の目的を思い出すと、

横断的ホモクリニック点の存在 $\Rightarrow$ カオス的な現象

の説明です。ここで現れる"カオス的な現象"とは、少し厳密には馬蹄(horseshoe)と呼ばれる集合の存在を意味しています。

実際の定理の主張に出てくる馬蹄の定義はありえないぐらい難しいので、一番有名で簡単な例を紹介しましょう。

正方形 $R = [0, 1] \times [0,1]$ 上の局所微分同相写像$f: R \to \mathbb{R}^2$を考えます。この$f$は、図のように$R \cap f(R)$ が2つの連結成分で構成されます。イメージとしては、$R$を横に細長くしてそれを折り曲げたといった感じです。縦方向には縮んでいて横方向には伸びているといった条件も必要ですので、これを付け加えておきます。

馬蹄形写像

このとき、

$$ \Lambda := \bigcap_{n \in \mathbb{Z}} f^n(R) $$

という集合を馬蹄といいます。この馬蹄に関して次のような事が成立しています。

空でないコンパクト集合
$\Lambda$は$f$不変、つまり$f^{-1}(\Lambda) = \Lambda = f(\Lambda)$
$f$ の周期点全体の集合は$\Lambda$上稠密
$f$ は位相推移的(全体を駆け巡る軌道が存在する)
$R$を左半分$R_1$と右半分$R_2$に分けたとき、"全ての過去の時間$n \leq 0$に対して$f^n(x)$が$R_1$, $R_2$どちらに入っていたか"を調べても未来$f(x)$ でどちらに入るかは予測できない
しかし、上の $R_1$, $R_2$の分割をしたとき、過去と未来の情報をどちらも調べるれば、$x$の位置を特定できる
本質的に異なる軌道が指数的に増えていく(正エントロピー)

などなど...

テキトーに思いついたものを挙げましたが、これらの命題を見れば、馬蹄がカオス的な挙動をしていることは認めていただけるでしょう。

横断的ホモクリニック点からカオスを導く

紹介する定理

必要なものを紹介しきったので、やっと定理の紹介です。

$M$をコンパクトリーマン多様体、$f: M \to M$を微分同相写像、$p$をその双曲型周期点で横断的ホモクリニック点を持つものとする。このとき、$p$の任意の近傍$U$に対してある$n \geq 0$が存在し、$f^n$は$U$内に馬蹄を持つ。

定理の主張

$f^n$ となっているのは、周期点付近だと一回$f$を作用させただけでは馬蹄を作れないため、仕方なく何回も繰り返してるだけですね。もう一つ重要なこととして、任意の近傍$U$に対して存在するということです。馬蹄はコンパクト集合なので、それを除いた新しい近傍を作り...とすれば何個でも馬蹄が作れることがわかります。

つまり、この定理は$f$がカオス的な挙動をしている部分が$p$の周りに無限に存在することを主張しているのです！馬蹄は無限個の周期点を持っているので、$p$の周りに無限個の周期点があることも直ちにわかりますね。

たった1つの特徴的な点の存在だけから豊富なカオス的挙動を導出できるというのは、この事実だけを聞けば不思議に思えてきます。

また強い主張が成り立っているんだから強い仮定が置かれているのだろうと思われるかもしれんが、驚くべきことに、このホモクリニック交差という現象は全くもって珍しくありません。そもそもホモクリニック現象は、ポアンカレが三体問題という常に現実に即している問題において発見したものです。おそらく人間がテキトーに$f$を作ったら、どこかしらにはホモクリニック交差が起きているでしょう。

なお、ホモクリニック交差が起こらないような力学系もたくさん存在します。双曲型であっても、一方の不動点の安定多様体ともう一方の不動点の不安定多様体が一致するように$f$を構成すると、ホモクリニック交差の起こらない双曲的不動点が完成します。

この定理の仕組みを担う補題

驚くべき主張のように書いてきましたが、実はこの仕組み自体は直感的です。双曲力学系の理論を学べば、むしろ成り立ってなかったら驚くといったぐらいです。

これを直感的たらしめる定理を紹介しましょう。

その前に記法の定義をしておきます。
誘導された多様体$W^u(p)$上の距離を$d^u$で表すこととし、
$$ B_R^u := \{x \in W^u(p) \mid d^u(x, p) < R\} $$
とします。つまり、$W^u(p)$を$M$に関係ないそれ単体の多様体と見た時の$p$中心の開球が$B_R^u$です。

傾き補題(inclination lemma) [ BS, Theorem 5.7.2]

$(M, f)$をいつものセッティング、$p \in M$を双曲型不動点とする。
$W^u(p)$と等しい次元の埋め込まれた開円盤(開球)$D$が$y \in D$で$W^s(p)$と横断的に交わるとする。

このとき、任意の$\beta > 0$と$R > 0$に対して、次の主張を満たすある$n_0 > 0$が存在する。
任意の$n \geq n_0$ に対して、ある$\tilde{D} := \tilde{D}(\beta, R, n) \subset D$が存在し、$f^n(\tilde{D})$と$B_R^u$の$C^1$距離は$\beta$未満である。

多様体同士の$C^1$距離って何？

おおよそ名前の通りで、2つの多様体がどのぐらい近くにあってどのぐらい傾きも似てるかを測る量です。値が近いほど似た多様体になります。

何この定理...？軽く読んだだけで言っている意味がわかる方はそう多くはないでしょう。しかしながら、図で見るとこの定理も直感的なことを言っている事がわかります。

傾き補題

つまり、傾き補題は、$n$をめちゃくちゃ大きくとれば$f^n(D)$の一部を使って$W^u(p)$をいくらでも近似できると言っているわけですね。

直感的な理解のためには双曲型不動点が何かを知る必要があるので、そろそろ説明しましょう。不動点が双曲型であるというのは、その不動点付近の点が指数的に近づいていくかの指数的に離れていくかのどちらかに限定される場合を指します。$W^s$(resp. $W^u)$は、特に未来では(resp. 過去では)指数的に近づき、過去では(resp. 未来では)指数的に離れる点のみを集めたような集合になっています。それ以外の点は全て指数的に離れていきます。(ただし、これらは全て$p$の付近での話で、$p$を離れると変な挙動をします。)

さて、$D$との横断点$y$は$W^s(p)$内の点なわけですから、当然$f^n(y)$は$p$へ近づいていきますし、双曲性の性質に従って$D$は$W^u(p)$の方向に伸びていくので、$W^u(p)$に傾きも似てくるというわけです。

$f$は連続(さらには微分も連続)なわけですから、なんとなく、こんな性質は成り立ってて欲しいですよね。

傾き補題を横断的ホモクリニック点に使ってみよう

$p$が不動点の場合に限って考えます。

横断的ホモクリニック点$q$は、傾き補題における$y$にあたります。$W^u(p)$のある断片$D$と$W^s(p)$が$q$で横断的に交わっているという状況なわけです。
$$ W^u(p) = \{x \in M\mid \lim_{n \to \infty}d(f^{-n}(x), f^{-n}(p)) = 0\} $$
でしたが、$p$に対してこの式を満たす点$x$は、$f(x)$や$f^{-1}(x)$も$f(p)$や$f^{-1}(p)$に対してこの式の条件を満たします。いま$p$は不動点と仮定していることを考えると、上の事実は$f^{-1}(W^u(p)) = W^u(p) = f(W^u(p))$を意味します。これはつまり、$f^n(D)$も$W^u(p)$の一部になっているというわけです。つまり、これを各$n \geq n_0$に対して適応すると...

不安定多様体の

不安定多様体$W^u(p)$が$p$の付近にびっしり横並びになってる！！！
$f$を$f^{-1}$に置き換えると$W^s$と$W^u$の役割が逆転します。なので、$W^s(p)$の断片に対しても傾き補題が使えますね。すると...

無限に交わる安定多様体と不安定多様体

$W^s(p)$と$W^u(p)$が$p$付近でめっちゃ交わってる！！！

この交わってる点たちは全部横断的ホモクリニック点です。こんなめちゃくちゃなことになっているなら、カオス的な現象が$p$付近に大量に埋め込まれていても不思議ではないでしょう。

ホモクリニック点から馬蹄を作ってみよう

確かに横断的ホモクリニック点が大量にありましたが、これだけではカオスの存在は保証できません。実際には少しだけ工夫をします。

馬蹄のつくりかた

テキトーに、$W^s(p)$のすごい近くに、直方体$R$を置いてみましょう。これを横にスパスパっと切ったものはそれぞれ$W^s(p)$と横断的に交わる開円盤の一部であり、その横断点とすごい近いという仮定を置いているので、$f$をたくさん作用させると$p$の小さな近傍内で$W_u(p)$に近接します。

この議論を慎重に行うと、$q$を横断的ホモクリニック点として、$R$を$f^{n_s}(q), f^{n_s + 1}(q)$の近くに、そして$f^{n_1}(R)$を$f^{-n_u-1}(q), f^{-n_u}(q)$の近くに持っていく事ができます。この$n_s, n_u$は、これらの点が定理の仮定とった$p$の開近傍$U$に入るようとりましょう。$f$は連続関数でしたので、$C^1$距離が十分に近い多様体2つに$f^{n_s + n_u + 1}$を作用させても近い距離を保ってくれます。

つまり、$f^{n_s}(q), f^{n_s + 1}(q)$付近で$R$は縦一直線の$W^s(p)$に沿い、また同じ点付近で$f^{n_1 + n_s + n_u + 1}(R)$はグネグネした$W^u(p)$に沿うわけです。これを絵に書いてみるとどうでしょう。

$R$を$f^{n_1 + n_s + n_u + 1}(R)$が何回も横切っていますね。これは先ほど紹介した馬蹄の一般化になっており、このようにして定理が証明されるわけです。

この記事のまとめ

いかがでしたでしょうか。

...なんか画像でかくない？

最後に仕組みを簡潔にまとめると

横断的ホモクリニック点の存在
$\Downarrow$ (傾き補題)
謎の$f$不変な多様体である$W^s(p)$と$W^u(p)$が$p$付近でグネグネする
$\Downarrow$
このグネグネにより直方体$R$と$f^n(R)$が良い交わり方をする
$\Downarrow$
馬蹄と呼ばれるカオス的な部分が出来る

未来と過去どちらも不動点に収束する軌道の存在だけでカオスが出現する、という文言だけだとなんとも摩訶不思議な現象に思えますが、仕組みを知るとなるべくしてなったようにも感じますね。

シリーズの展望

さて、大雑把に説明してきましたが、ホントに厳密な議論で成り立ってるの？というのは結構重要な話です。この記事を書いてて一番の飛躍だと感じたのは安定多様体が埋め込まれた開球になってるところとかでしょうか。他にも、こういう直感的な議論をしていると、実は$n$と$\varepsilon$をうまく取る順番が存在せず困る、みたいなことはよく起こりますよね。

そういうわけで、このシリーズでは今回紹介した定理を証明することを目標に、双曲力学系と呼ばれる理論を紹介していきます。

...どこに需要があるの？

ぜひ興味のある方は見てあげてください。
モチベが続くかは知らない。