『代数函数論』補題1.7
Henselの補題を思い出しておきましょう．
$(K,P)$を素因子$P$に関する完備体，$\mfo,\mfp$をその付値環及び素イデアルとする．また，$\mfK=\mfo/\mfp$とする．このとき，次のことが成り立つ．
$f(X)\in\mfo[X]$に対して，$f(X)$の係数をmod$\mfp$で置き換えたものを$\overline{f}(X)$とする．このとき，$\overline{f}(X)$が$\mfK[X]$の元として，互いに素な二つの多項式$g^\prime(X),h^\prime(X)$を用いて$\overline{f}(X)=g^\prime(X)h^\prime(X)$と分解できるならば，
$$f(X)=g(X)h(X),\quad\overline{g}(X)=g^\prime(X),\quad \overline{h}(X)=h^\prime(X)$$
を満足する$\mfo[X]$の多項式$g(X),h(X)$が存在する．しかも，$g(X)$の次数は$g^\prime(X)$の次数と一致させることができる．
さて，今回の定理に移りましょう．
$K$を素因子$P$に関する完備体，$\mfo$を$P$の付値環とするとき，$K[X]$の既約多項式$f(X)=X^n+a_1X^{n-1}+\cdots + a_n$において，$a_n$が$\mfo$に含まれるならば，ほかのすべての$a_i$もまた$\mfo$に含まれる．
$l=\min(\nu_P(a_i);i=1,\cdots,n)$とする．$l<0$と仮定して矛盾を導く．
$\nu_P(b)=-l$なる$b$を取り，
$$f_1(X)=bf(X)=b_0X^n+b_1X^{n-1}+\cdots+b_n,\quad b_i=ba_i$$
とすれば，$f_1(X)\in\mfo[X]$で，仮定より$\nu_P(b_n)>0$で，$\nu_P(b_i)=0$なる$b_i$が存在する．$\nu_P(b_n)>0$は$b_n\in\mfp$を意味し，$\nu_P(b_i)=0$は$b_i$が$\mfK$において$0$でないことを保証します．よって$\mfK[X]$において，$\overline{f}_1(X)=X^kh^\prime(X)$と分解できる．これは$0< k< n$，$X$と$h^\prime(X)$は互いに素であるように取れます．よってHenselの補題から$f(X)$が次数$k$，次数$n-k$の因子に分解されます．これは$f(X)$が既約という条件に矛盾します．QED
おわりに
$\S2$が終わりました．ここまで見ていただきありがとうございます．
