文献あり

『代数函数論』補題1.7

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

Henselの補題を思い出しておきましょう．

Henselの補題

$(K, P)$ を素因子 $P$ に関する完備体， $o, p$ をその付値環及び素イデアルとする．また， $K = o / p$ とする．このとき，次のことが成り立つ．
$f (X) \in o [X]$ に対して， $f (X)$ の係数をmod $p$ で置き換えたものを $\overset{―}{f} (X)$ とする．このとき， $\overset{―}{f} (X)$ が $K [X]$ の元として，互いに素な二つの多項式 $g^{'} (X), h^{'} (X)$ を用いて $\overset{―}{f} (X) = g^{'} (X) h^{'} (X)$ と分解できるならば，
$f (X) = g (X) h (X), \overset{―}{g} (X) = g^{'} (X), \overset{―}{h} (X) = h^{'} (X)$
を満足する $o [X]$ の多項式 $g (X), h (X)$ が存在する．しかも， $g (X)$ の次数は $g^{'} (X)$ の次数と一致させることができる．

さて，今回の定理に移りましょう．

$K$ を素因子 $P$ に関する完備体， $o$ を $P$ の付値環とするとき， $K [X]$ の既約多項式 $f (X) = X^{n} + a_{1} X^{n - 1} + \dots + a_{n}$ において， $a_{n}$ が $o$ に含まれるならば，ほかのすべての $a_{i}$ もまた $o$ に含まれる．

$l = min (ν_{P} (a_{i}); i = 1, \dots, n)$ とする． $l < 0$ と仮定して矛盾を導く．
$ν_{P} (b) = - l$ なる $b$ を取り，
$f_{1} (X) = b f (X) = b_{0} X^{n} + b_{1} X^{n - 1} + \dots + b_{n}, b_{i} = b a_{i}$
とすれば， $f_{1} (X) \in o [X]$ で，仮定より $ν_{P} (b_{n}) > 0$ で， $ν_{P} (b_{i}) = 0$ なる $b_{i}$ が存在する． $ν_{P} (b_{n}) > 0$ は $b_{n} \in p$ を意味し， $ν_{P} (b_{i}) = 0$ は $b_{i}$ が $K$ において $0$ でないことを保証します．よって $K [X]$ において， ${\overset{―}{f}}_{1} (X) = X^{k} h^{'} (X)$ と分解できる．これは $0 < k < n$ ， $X$ と $h^{'} (X)$ は互いに素であるように取れます．よってHenselの補題から $f (X)$ が次数 $k$ ，次数 $n - k$ の因子に分解されます．これは $f (X)$ が既約という条件に矛盾します．QED