高校数学議論

約数関数に関する予想

約数関数

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予想

次の不等式を満たす $2$ 以上の自然数 $n$ は $2, 4, 8, 16$ のみである．

$\log_{n} (σ_{1} (n)) \geq σ_{0} (n)^{\frac{1}{2 Ω (n)}}$

ここで， $σ_{x} (n) = \sum_{d | n, 0 < d} d^{x}, Ω (n) = \sum_{p^{k} | n, p \in P} 1$ である．

つい先日ExcelのLAMBDA関数の存在を知りまして，『これでやっとちまちま計算して確認する苦労から解放される！』と意気込んで，数年ぶりにExcelを触りました．

Excelを用いて $n = 10000$ までは成立することを確かめています．

検証方法について

私が行ったExcelでの検証について紹介します．
関数 $σ_{x} (n)$ を

LAMBDA(a,b,SUM(POWER(UNIQUE(REDUCE(1,SEQUENCE(SQRT(a)),LAMBDA(c,d,IF(MOD(a,d),c,VSTACK(c,d,a/d))))),b)))(n,x)

で計算し，関数 $Ω (n)$ を

LAMBDA(a,SUM(REDUCE(0,SEQUENCE(a),LAMBDA(c,d,IF(sigma(d,0)=2,VSTACK(c,IF(vp(a,d)>0,LAMBDA(a,d,MAX(REDUCE(0,SEQUENCE(LOG(a,d)),LAMBDA(e,f,IF(MOD(a,POWER(d,f)),e,VSTACK(e,f))))))(a,d),0)),c)))))(n)

で計算します．以降では簡略化のため，それぞれsigma(n,x) , omega(n) と書くことにして(『名前の定義』を使うとよいでしょう)，予想の不等式を満たすx以下の自然数を配列として出力する計算式

=LAMBDA(n,UNIQUE(REDUCE(2,SEQUENCE(n-1)+1,LAMBDA(a,b,IF(LOG(sigma(b,1),b)-POWER(sigma(b,0),1/(2*omega(b)))>=0,VSTACK(a,b),a)))))(x)

のxにできるだけ大きな自然数を入れて結果を待ちましょう．
次の結果は x=10000 のときのものです．パソコンが悲鳴を上げ始めたのでここでやめてしまいました．

予想の検証(x=10000のとき)

予想は正しそうだとわかります．予想と呼んでいるように，まだこの命題の真偽はわかっていません．とても悔しいことに今の私では証明できませんでした．ですので，この予想が証明(または反証)できたという方は私にご連絡ください．お待ちしております．

追記

式を改良し， $n = 100000$ までの自然数で予想が成立することを確認しました．

関数 $Ω (n)$ を次のように改良しました．

=LAMBDA(x,IF(x>1,SUM(INDEX(REDUCE(VSTACK(0,0),SEQUENCE(x-1)+1,LAMBDA(a,b,IF(MOD(x,b),a,IF(REDUCE(0,SEQUENCE(SQRT(b)),LAMBDA(c,d,IF(MOD(b,d),c,c+1)))=1,HSTACK(a,VSTACK(REDUCE(0,SEQUENCE(LOG(x,b)),LAMBDA(e,f,IF(MOD(x,POWER(b,f)),e,e+1))),b)),a)))),1)),0))(n)

結局，素因数分解が速くなればいいので，素因数分解する式(図2)を改良して入れ込んだだけです．
これを『名前の定義』で「omega(n)」と書くことにします．
予想の不等式をみたすx以下の自然数を配列として出力する式を

=LAMBDA(n,UNIQUE(REDUCE(2,SEQUENCE(n-1)+1,LAMBDA(a,b,IF(LOG(SUM(UNIQUE(REDUCE(1,SEQUENCE(SQRT(b)),LAMBDA(c,d,IF(MOD(b,d),c,VSTACK(c,d,b/d)))))),b)-POWER(COUNT(UNIQUE(REDUCE(1,SEQUENCE(SQRT(b)),LAMBDA(c,d,IF(MOD(b,d),c,VSTACK(c,d,b/d)))))),1/(2*omega(b)))>=0,VSTACK(a,b),a)))))(x)

で計算します．xに100000を入れた結果，図3のようになりました．

素因数分解の式(例：999997の場合)