中学数学問題

奇数と偶数の和は奇数になる　の証明

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奇数と偶数の和は奇数である.

奇数　偶数

2で割り切れる整数を偶数といい、割り切れない整数を奇数という。

いかにも当たり前のような命題ですが、ここでよくある間違いを挙げます

間違った証明

3と4はそれぞれ奇数と偶数で足すと奇数になる。
よって命題1は正しい。

この注意である間違った証明はあくまでも例であり、すべての奇数偶数について確かめたことにならないです。
正しい証明を見てみましょう

(命題1)

定義により、どんな奇数$M$もある整数$k$を用いて、$M=2k+1$とかける。
どんな偶数$N$もある整数$l$を用いて、$N=2l$とかける。
すべての奇数、偶数について命題1を確かめるためには、$M+N$が$2$で割り切れないことを示せばよい。なぜなら、どんな$M,N$を選んできたとしても、それに対応する$k,l$が存在するので、一般性は失われていないのです。
$M+N=2k+1+2l=2(k+l)+1$であり、これは$2$で割ると$1$余る。
以上より命題が証明された。