円錐曲線に慣れ親しもう

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みなさんこんばんはかえでです．

今回は円錐曲線について初歩的なところから書いていこうと思います．
前提知識は船旅の初等の章全般と，数学IIIで習うとされている二次曲線についての用語とその各定義です．船旅の内容(特に射影の章)が常識として入っていないとかなり難しい可能性があるのでよろしくお願いします．

この記事ではまず円錐曲線とは何かについて説明し，その後円錐曲線を考える理由を二つ挙げてから実際に円錐曲線を使う様子を紹介します．

円錐曲線とは？

円錐曲線，いかつい初等幾何erの投稿でたまに見かけるけど全くよくわからないですよね．まず円錐曲線って何なのでしょう．

答えは高校で習う二次曲線のこと，つまり

楕円 (円を含んでいる)
放物線
双曲線

のことです．なぜ我々がこれらを二次曲線ではなく円錐曲線と呼ぶのか，それは単に二次曲線という名前が解析的すぎるからです．

また，なぜ"円錐"曲線という名前がついているのでしょうか．それは楕円,放物線,双曲線がすべて円錐を平面で切断したときの切断面として現れる図形だからです．実際にどう切断されているのかはWikiなどをご覧ください．
円錐曲線は英語でconic(コニック)と言いますが，要するにこれはcone$=$円錐から来ているのですね．三角コーンとかのコーンです．

円錐曲線を考える理由①

ではなぜ初等幾何で円錐曲線を考えるのでしょうか？
その答えを知るために，まずは我々の一番よく知る円錐曲線の一つである円について考えましょう．あなたは普段の初等幾何の中で何を理由に円を考え，補助円を紙に描くなどしているのでしょうか．おそらく「作図が簡単だから」「扱いやすいから」「式が簡単な形だから」など色々な答えがあるかと思われますが，初等幾何的に最も適切な答えは「円周角の定理が成り立つから」ですよね．初等幾何は角度第一ですからね．

でも，ちょっと待ってください．おそらく円錐曲線に触れたことのある方は今ここでとある疑問を抱いているはずです．というのも，一般の円錐曲線では円周角の定理は一切成り立ちません．それどころか方べきの定理などといった定理も成り立ちません．

じゃあなぜ円錐曲線なんて考えるのかと思いますが，答え合わせをしましょう．円で成り立っていて，かつ一般の円錐曲線でも成り立っているもの．それは複比が定義/計算できることです．

我々は複比という対象を扱うために円錐曲線を考えています．もちろん複比関係なく焦点と距離の関係などを扱うために取る円錐曲線もありますが，本筋はやはり複比です．
実は円錐曲線は複比が等しくなるような点の軌跡なのです．言葉で書くと解釈が色々できてしまうのでちゃんと記号で書きます．

一般に異なる四点$A,B,C,D$と二点$X,Y$が与えられたとき，$$X(A,B;C,D)=Y(A,B;C,D)$$であるならば六点$A,B,C,D,X,Y$は同一円錐曲線上にあり(conconicといいます)，その逆も成り立ちます．
$X(A,B;C,D)$は線束の複比$(XA,XB;XC,XD)$のことです．なぜこのような表記が存在するのかはこの記事を読み進めていけばよくわかると思います．多分．

円錐曲線における複比の扱い方は基本的に円と同様です．例えばSymmedianの構図としてよく見る以下の図1の構図，つまり四角形$ABCD$が調和四角形であること(要するに$(A,C;B,D)=1$)と三線が共点であることの同値は一般の円錐曲線で成り立ちます(図2)．

ただし，射影においては円と同様に注意が必要です．円錐曲線から射影をする，あるいは円錐曲線に射影をするときの射影の始点は必ずその円錐曲線上でなければなりません．もし円錐曲線から異なる円錐曲線に射影をするなら射影の始点は二つの円錐曲線の交点でなければなりません．また，線束の複比も円錐曲線上に束が無いと計算ができません．一方，円錐曲線から自分自身への射影の場合は射影の始点はその円錐曲線にない全ての点であるということにも注意しておきましょう．

円錐曲線を考える理由②

ここからはかなり踏み込んだ話をしていきます．初等幾何において円錐曲線を考える二つ目の理由，それは以下の定理が成り立つことにあります．

直角三角形でない三角形$ABC$において，その外接円錐曲線(角頂点を通る円錐曲線)の一つを$\mathcal{H}$とする．このとき，$\mathcal{H}$が直角双曲線であることと$\mathcal{H}$が三角形$ABC$の垂心を通ることは同値．

まだ分からなくて大丈夫ですが，この定理はとても重要です．

証明は denta さんのレポート等角共役とシムソン線の幾何学にあります．このレポートは今でもこの記事を読み終えた後でも構わないので必ず読んでください．理解を深める上で重要です．

また，この定理とセットで知っておきたい事実として以下があります．

三角形に関する等角共役で，すべての直線は三角形の外接円錐曲線に移り，すべての外接円錐曲線は直線に移る．

三角形$ABC$とその外接円錐曲線$c$について，$c$の等角共役が直線であることを示す．
$c$上に$P,Q,R$を取り，これらの三角形$ABC$における等角共役点をそれぞれ$P',Q',R'$とする．このとき，
$$ B(C,P';Q',R') = B(A,P;Q,R) = C(A,P;Q,R) = C(B,P';Q',R') $$
となるので，Prism lemmaより三点$P',Q',R'$は共線である．よって$c$の三角形$ABC$における等角共役は直線である．

この証明におけるPrism lemmaの部分の中身をちゃんと解説しておくと，直線$P'Q'$と直線$BC$の交点を$X$とし，$U = BR' \cap P'Q', V= CR' \cap P'Q'$としたとき，途中の式は$(X,P';Q',U) = (X,P';Q',V)$であるということを言っています．したがって，複比は三点を固定して一点を動かしたとき単射ですからこれは$U=V$を表しており，特に$R'$が直線$P'Q'$上にあることが分かるということを言っているわけです．

皆さんがこの定理を使う場面は多くないかと思いますが，重要であることには変わらないので知っておいた方がいいと思います．

では，実際に円錐曲線を使うところを見ていきましょう．

円錐曲線を使ってみる

まずは春合宿の三番級を解いていきましょう．

代表選考合宿 2023 P9 / ISL 2022 G6

鋭角三角形$ABC$があり，$A$から辺$BC$に下ろした垂線の足を$H$とする．直線$BC$上にない点$P$を，$\angle PBC$の二等分線$k$と$\angle PCB$の二等分線$l$が線分$AH$上(端点を除く)で交わるようにとる．$k$と直線$AC$の交点を$E$，$l$と直線$AB$の交点を$F$，直線$EF$と直線$AH$の交点を$Q$とする．このとき，ある点$X$があり，$P$のとり方によらず$X$は直線$PQ$上にあることを示せ．

問題文が長いですが，要するに三角形$ABC$と垂線$AH$があり，点$P$を三角形$PBC$の内心$I$が直線$AH$上にあるように取ったとき，直線$PQ$が($A,B,C$から定まる)定点を通ることを示せという問題です．このままだと$P$がどういう点なのかよくわからないので，まずは直線$AH$上で$I$を動かしたときの点$P$の軌跡を考えてみましょう．

$I$は内心で，$H$は$I$から辺$BC$に下ろした垂線の足ですから，内接円を考えれば$BP-CP = BH-CH$が成り立ちます．よって$P$は$B,C$を焦点とし$H$を通る双曲線上を動きますね．
なのでこの双曲線を$\mathcal{H}$とします．このとき，直線$PI$は$\angle BPC$の二等分線なので，光線定理より直線$PI$は$\mathcal{H}$に接することに留意しましょう．
ここで，直線$AH$が$\mathcal{H}$に接すること，そしてチェバ線の調和点列より$(A,I;Q,H) =-1$が成り立つことを考えれば①で扱ったSymmedianの一般化の構図が使えそうに見えます．

実際，直線$PA,PQ$と$\mathcal{H}$が再び交わる点をそれぞれ$R,S$とし，$H$と異なる$\mathcal{H}$上の点$X$を直線$AX$が$\mathcal{H}$に接するように取れば，
$$ (R,P;X,H)_{\mathcal{H}} = -1 = (A,I;Q,H) \overset{P}{=} (R,P;S,H)_{\mathcal{H}} $$
と計算できるので$S=X$が成り立ち，直線$PQ$が$\mathcal{H}$上の点$X$を常に通ることが示されます．$\blacksquare$

二つの異なる複比を$-1$で繋いで適切に射影をすることで共線や共点や直交を示す手法はあまりにも典型で，円錐曲線やその接線を使うことでそれができますよということを言っているんですね．

当時の春合宿についてのログを見る限りほとんどの人が座標計算でこの問題を解いていて，円錐曲線を用いて解いている人は denta さんくらいしかいなかったようです．円錐曲線を知っておくことが数オリでアドバンテージになることもあるということですね．

次の問題はOMCよりOMCEのラスボス幾何です．

OMCE005(F)

　$AB \neq AC$なる三角形$ABC$の内接円と辺$BC,CA,AB$の接点をそれぞれ$D,E,F$とし，$D$から直線$EF$に下ろした垂線の足を$P$とすると，$AP \perp BC$となりました．さらに，
$$ AP=321, \quad DP=500$$
であるとき，三角形$ABC$の面積を求めてください．

この問題の考察パートは，構図の知識があれば円錐曲線を用いて示すことができます．

まず，三角形$ABC$の内心を$I$とし，四角形$AIDP$が平行四辺形となるように点$P$を取ります．また，線分$BC$の中点を$M$，直線$AP$と直線$EF$の交点を$J$とし，$I$を通り直線$BC$に平行な直線と直線$EF$の交点を$K$とします．

有名事実として線分$AD$の中点は直線$MI$上にある(四角形$ABDC$に関するNewtonの定理から即座に従う)ので三点$P,I,M$は共線です．また，$J$は三角形$AIK$の垂心なので，内接円と四角形$EEFF$に関するBrokardの定理より四点$E,F,J,K$が調和点列を成すことが分かります．これらのことから，
$$ I(B,C;P,K) = I(B,C;M,\infty_{BC}) = -1 = (F,E;J,K) = A(B,C;P,K)$$
と計算できるため，六点$A,B,C,I,P,K$は同一円錐曲線上にあることが従います．
ここで，問題で与えられた条件から今$P$は直線$EF$上にあるのですが，これは$P=J$，つまり$P$が三角形$AIK$の垂心であることを表しているので，②で扱った定理1よりこの円錐曲線は直角双曲線であると分かります．一方$P$は$A$から直線$BC$への垂線上にあるので，再び定理1を用いれば$P$が三角形$ABC$の垂心であることが従います．これが分かれば後はどうとでも計算できますね．