微分積分に関する難問(微分方程式)
微積分の難問(微分方程式)
問1は問2の誘導になっているので力自慢の方は問2から挑戦してみてください
微分方程式使わずに挑戦してみてください
𝑓’(𝑥)=𝑓(𝑥)($\log_{}x$+1) 𝑓(1)=1
を満たすとき𝑓(𝑥)を求めよ
𝑓’(𝑥)=$\sqrt{ \lbrace 𝑓(𝑥) \rbrace ^{2} -4}$($\log{}x$+1) 𝑓(1)=2
を満たすとき𝑓(𝑥)を求めよ
ヒント
問1の問題の形を見たとき微分した関数𝑓’(𝑥)に元の関数𝑓(𝑥)が入っています。例として𝑓‘(𝑥)に𝑓(𝑥)が入っている関数は𝑓(𝑥)=$e^{x}$+1などがあります。そのため、指数関数ではないかと予想することができます。
初めに両辺を𝑓(𝑥)で割ってみると左辺に見覚えのある形ができるはずです。$\frac{𝑓’(𝑥)}{𝑓(𝑥)}$この形は$\log_{}𝑓(𝑥)$を微分した形です。
問2については問1と同様の手法を用いてとけます。
問1解答
題意より𝑥$\geq$0
両辺を𝑓(𝑥)で割ります。
$\frac{𝑓’(𝑥)}{𝑓(𝑥)}$=$\log_{}x$+1
両辺積分して
$\log_{} \left|
𝑓(𝑥) \right| $=𝑥$\log_{}𝑥$+$\mathcal{C}$ ($\mathcal{C}$は積分定数)
両辺$\log_{}$で統一して
$\log_{} \left| 𝑓(𝑥) \right| $=$\log_{} x^{x}$$e^{ \mathcal{C} }$
よって
𝑓(𝑥)=$\pm$$x^{x}$$e^{ \mathcal{C} }$
条件𝑓(1)=1より
$\pm$$e^{ \mathcal{C} }$=1 より
符号は+で$\mathcal{C}$=0
以上より
𝑓(𝑥)=$x^{x}$
問2解答
問1と同様に進めていきます
両辺を$\sqrt{ \lbrace 𝑓(𝑥) \rbrace ^{2} -4}$で割ります
$\frac{𝑓’(𝑥)}{$\sqrt{ \lbrace 𝑓(𝑥) \rbrace ^{2} -4}$}$=$\log_{}x$+1
𝑓(𝑥)=t と置換して積分すると 𝑓’(𝑥)=$\frac{dt}{dx}$
$$
\int_{}^{}\frac{1}{ \sqrt{ t^{2} -4} }dt= x\log_{} x+c$$
左辺をtで積分して
$$\log_{} \left| t+ \sqrt{ t^{2} -4} \right|= \log_{} x^{x} e^{c} $$
logの中身を比較して
𝑓(𝑥)+$\sqrt{ \lbrace 𝑓(𝑥) \rbrace ^{2}-4 }$=$\pm$$ x^{x} e^{c} $
移行して二乗し式変形すると
𝑓(𝑥)=$\pm$$\frac{ x^{2x} e^{c} }{2 x^{x} e^{c} }$
条件𝑓(1)=2 より代入して
c=$\log_{}2$ 符号は＋である
以上より
𝑓(𝑥)=$x^{x}$+$\frac{1}{ x^{x} }$
どうでしたか？微分方程式なので𝑓(𝑥)=yとおいて整理しても解けますが、今回は別の手法を用いて解いてみました。
