宇宙空間に置いた2物体が衝突するまでにかかる時間

簡単のため、$m_A=k{m}_B$($k>0$)と表しておく。

衝突時間を$T$、時刻$t$での各小球間の距離を$r=r(t)$とする。

$r_A=r_A(t)$:時刻$0$から$t$までに小球$A$が動いた距離
$v_A=v_A(t)$:時刻$t$での小球$A$の速さ
$a_A=a_A(t)$:時刻$t$での小球$A$の加速度
とし、小球$B$に対しても同様の記号を定める。

運動方程式より、
$$\{\begin{array}{rl}& a_A=\frac{Gk{m}_A}{r^2}\\ & a_B=-\frac{G{m}_A}{r^2}\end{array}$$
が従う。ここから、$a_A=-k{a}_B$であることが分かる。

各小球の初速は$0$だから、$v_A=k{v}_B$である($v_A,v_B$は速度ではなく速さ)。

従って、$r_A=k{r}_B$である。

明らかに$r_A+r_B+r=\ell$であり、これを整理すると、
$$r_A=\frac{k}{k+1}(\ell -r)$$
が導かれる。時間微分により、
$$v_A=-\frac{k}{k+1}\dot{r}$$
を得る。これをエネルギー保存式
$$-\frac{G{m}_A(k{m}_A)}{\ell }=-\frac{G{m}_A(k{m}_A)}{r}+\frac{1}{2}{m}_A{v}_A^2+\frac{1}{2}(k{m}_A){\left(\frac{v_A}{k}\right)}^2$$
に代入して整理すれば、
$$(\dot{r}{)}^2=2G(m_A+m_B)(\frac{1}{r}-\frac{1}{\ell })$$
となる。明らかに$\dot{r}<0$だから、
$$\dot{r}=-\sqrt{2G(m_A+m_B)(\frac{1}{r}-\frac{1}{\ell })}$$
を得る。従って、
$$\begin{array}{rl}T={\int }_0^{T}dt& =\frac{1}{\sqrt{2G(m_A+m_B)}}{\int }_{\ell }^0-\frac{dr}{\sqrt{(\frac{1}{r}-\frac{1}{\ell })}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2G(m_A+m_B)}}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{2\ell \sin \theta \cos \theta d\theta }{\sqrt{\frac{1}{\ell }{\tan }^2\theta }} (r=\ell {\cos }^2\theta )\\ & =\frac{1}{\sqrt{2G(m_A+m_B)}}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2\sqrt{{\ell }^3}{\cos }^2\theta d\theta \\ & =\sqrt{\frac{{\ell }^3}{2G(m_A+m_B)}}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2\theta )d\theta \\ & =\sqrt{\frac{{\ell }^3}{2G(m_A+m_B)}}{[\theta +\frac{1}{2}\sin 2\theta ]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{{\ell }^3}{2G(m_A+m_B)}}\end{array}$$