零点問題集-ゼータ入門の宿題の回答を行ってみる．

$s\mapsto 1-s$に対して次の事が成り立つ．
$$\begin{array}{rcl}s-(2k+1)& \mapsto & -(s-2k)\\ s+2k& \mapsto & -(s-(2k+1))\end{array}$$
この事を用いればよい．
例えば，$Z_n^{(m)}(s)$を微分した場合，$Z_n^{(m)}(s)$は次の様な項の総和となる．
$$\begin{array}{rcl}& & (s-(2k_1+1))(s-(2k_2+1))\cdots (s-(2k_{n-m+1}))\\ & & (s+2k_1)(s+2k_2)\cdots (s+2k_{n-m+1})\end{array}$$
ただし，$k_1,k_2,...,k_{n-m+1}$は，$0\le k_1<k_2<\cdots <k_{n-m+1}\le n$を満たす整数全体である．
この事を用いると
$$\begin{array}{rcl}& & (s-(2k_1+1))(s-(2k_2+1))\cdots (s-(2k_{n-m+1}))\mapsto (-1{)}^{n-m+1}(s+2k_1)(s+2k_2)\cdots (s+2k_{n-m+1})\\ & & (s+2k_1)(s+2k_2)\cdots (s+2k_{n-m+1})\mapsto (-1{)}^{n-m+1}(s-(2k_1+1))(s-(2k_2+1))\cdots (s-(2k_{n-m+1}+1))\end{array}$$
を得る．ゆえに，(1)の証明が完了した．

$m=0$の場合
$Z_n(s)=0$とすると，定義より
$$|s(s+2)\cdots (s+2n)|=|(s-1)(s-3)\cdots (s-(2n+1))|$$
この時，$k=0,1,2...,n$に対して，次式が成り立つので$Re(s)=\frac{1}{2}$が示された．
$$\begin{array}{rcl}& & Re(s)>\frac{1}{2}\Rightarrow |s+2k|>|s-(2k+1)|\\ & & Re(s)=\frac{1}{2}\Rightarrow |s+2k|=|s-(2k+1)|\\ & & Re(s)<\frac{1}{2}\Rightarrow |s+2k|<|s-(2k+1)|\end{array}$$
＊この不等式のイメージがわかない場合は，$Re(s)=\frac{1}{2}$の直線上の点P，点Q$-2k$，点R$2k+1$により$\mathrm{\Delta }PQR$を考えると$\mathrm{\Delta }PQR$が底辺をQRとする二等辺三角形であり，直線$Re(s)=\frac{1}{2}$が角$QPR$を二等分する事を考えればよい．
$m=1$の場合
$Z_n(s)$の零点を${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_k$とすると，$Z_n(s)$は次のように書ける．
$$Z_n(s)={\mathrm{\Pi }}_k(s-{\alpha }_{ｋ})$$
この式を微分して次式を得る．
$$\frac{Z_n^{{}^{\prime }}(s)}{Z_n(s)}=\mathrm{\Sigma }\frac{1}{s-{\alpha }_k}=0$$
この式の複素共役をとって，次式を得る．
$$\mathrm{\Sigma }\frac{1}{s^{\ast }-{\alpha }_k^{\ast }}=\mathrm{\Sigma }(s-{\alpha }_k)|s-{\alpha }_k{|}^{-2}=0$$
そこで，
$$t_k=\frac{|s-{\alpha }_k{|}^{-2}}{|s-{\alpha }_1{|}^{-2}|s-{\alpha }_2{|}^{-2}\cdots |s-{\alpha }_n{|}^{-2}}>0$$
と置くと，次式を得る．
$$s={\mathrm{\Sigma }}_k{t}_k{\alpha }_k$$
ゆえに，
$$\begin{array}{rcl}Re(s)& =& {\mathrm{\Sigma }}_k{t}_{k}Re({\alpha }_k)\\ & =& {\mathrm{\Sigma }}_k{t}_k\frac{1}{2}\\ & =& \frac{1}{2}{\mathrm{\Sigma }}_k{t}_k\\ & =& \frac{1}{2}\end{array}$$
が示された．
$m\ge 2$の場合は先の議論を繰り返せばいい．