零点問題集-ゼータ入門の宿題の回答を行ってみる．

$s \mapsto 1-s$に対して次の事が成り立つ．
\begin{eqnarray} s-(2k+1) &\mapsto& -(s-2k)\\ s+2k &\mapsto &-(s-(2k+1)) \end{eqnarray}
この事を用いればよい．
例えば，$Z_{n}^{(m)}(s)$を微分した場合，$Z_n^{(m)}(s)$は次の様な項の総和となる．
\begin{eqnarray} &&(s-(2k_1+1))(s-(2k_2+1))\cdots(s-(2k_{n-m+1}))\\ &&(s+2k_1)(s+2k_2)\cdots(s+2k_{n-m+1}) \end{eqnarray}
ただし，$k_1,k_2,...,k_{n-m+1}$は，$0 \leq k_1 \lt k_2 \lt \cdots\lt k_{n-m+1}\leq n$を満たす整数全体である．
この事を用いると
\begin{eqnarray} &&(s-(2k_1+1))(s-(2k_2+1))\cdots(s-(2k_{n-m+1})) \mapsto (-1)^{n-m+1}(s+2k_1)(s+2k_2)\cdots(s+2k_{n-m+1}) \\ &&(s+2k_1)(s+2k_2)\cdots(s+2k_{n-m+1})\mapsto (-1)^{n-m+1}(s-(2k_1+1))(s-(2k_2+1))\cdots(s-(2k_{n-m+1}+1)) \end{eqnarray}
を得る．ゆえに，(1)の証明が完了した．

$m=0$の場合
$Z_n(s)=0$とすると，定義より
\begin{equation} |s(s+2)\cdots(s+2n)|=|(s-1)(s-3)\cdots(s-(2n+1))| \end{equation}
この時，$k=0,1,2...,n$に対して，次式が成り立つので$Re(s)=\frac{1}{2}$が示された．
\begin{eqnarray} &&Re(s)>\frac{1}{2}\Rightarrow |s+2k|>|s -(2k+1)|\\ &&Re(s)=\frac{1}{2}\Rightarrow |s+2k|=|s-(2k+1)|\\ &&Re(s)\lt\frac{1}{2}\Rightarrow |s+2k|\lt|s-(2k+1)|\\ \end{eqnarray}
＊この不等式のイメージがわかない場合は，$Re(s)=\frac{1}{2}$の直線上の点P，点Q$-2k$，点R$2k+1$により$\Delta PQR$を考えると$\Delta PQR$が底辺をQRとする二等辺三角形であり，直線$Re(s)=\frac{1}{2}$が角$QPR$を二等分する事を考えればよい．
$m=1$の場合
$Z_n(s)$の零点を$ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{k}$とすると，$Z_n(s)$は次のように書ける．
\begin{equation} Z_n(s)=\Pi_k(s-\alpha_ｋ) \end{equation}
この式を微分して次式を得る．
\begin{equation} \frac{Z_n^{'}(s)}{Z_n(s)}=\Sigma\frac{1}{s-\alpha_k}=0 \end{equation}
この式の複素共役をとって，次式を得る．
\begin{equation} \Sigma\frac{1}{s^*-\alpha_k^*}=\Sigma(s-\alpha_k)|s-\alpha_k|^{-2} =0 \end{equation}
そこで，
\begin{equation} t_k=\frac{|s-\alpha_k|^{-2}}{|s-\alpha_1|^{-2}|s-\alpha_2|^{-2}\cdots|s-\alpha_n|^{-2}} > 0 \end{equation}
と置くと，次式を得る．
\begin{equation} s=\Sigma_kt_k\alpha_k \end{equation}
ゆえに，
\begin{eqnarray} Re(s)&=&\Sigma_{k}t_kRe(\alpha_k)\\ &=&\Sigma_{k}t_k\frac{1}{2}\\ &=&\frac{1}{2}\Sigma_kt_k\\ &=&\frac{1}{2} \end{eqnarray}
が示された．
$m \geq 2$の場合は先の議論を繰り返せばいい．