再スケール微積分の公式をいくつか作る
はじめに
雑に書きました. あんまり活用方法は思いつきませんがやっとくだけやっときます.
再スケール微分の四則
$X,\,Y:$全単射, $X,\,Y,\,f$が微分可能のとき, 次が成り立つ.
$$
f_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)=\frac{f'(x)(Y^{-1})'(f(x))}{(X^{-1})'(x)}
$$
この公式を使って, 微分の四則を再スケール微分に当てはめた公式を考える.
和の再スケール微分法則
$f,\,g$が再スケール微分可能のとき$(f+g)_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)=f_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)+g_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)$を満たすような条件を求めます.
$$
(f+g)_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)
=\frac{(f+g)'(x)(Y^{-1})'((f+g)(x))}{(X^{-1})'(x)}
=\frac{(f'(x)+g'(x))(Y^{-1})'(f(x)+g(x))}{(X^{-1})'(x)}
$$
$$
f_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)+g_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)
=\frac{f'(x)(Y^{-1})'(f(x))}{(X^{-1})'(x)}+\frac{g'(x)(Y^{-1})'(g(x))}{(X^{-1})'(x)}
$$
$(X^{-1})'(x)\neq 0$なので
$$
(f'(x)+g'(x))(Y^{-1})'(f(x)+g(x))
=f'(x)(Y^{-1})'(f(x))+g'(x)(Y^{-1})'(g(x))
$$
両辺を積分して
$$
(Y^{-1})(f(x)+g(x))
=(Y^{-1})(f(x))+(Y^{-1})(g(x))+\text{定数}
$$
を満たす$Y$を見つければよい.
これはコーシーの関数方程式型に定数を加えたものなので, $Y(x)=C_1x+C_2$と解ける.
$Y(x)=C_1x+C_2\,(C_1,\,C_2\in\mathbb{R},\,C_1\neq 0)$のとき, 次が成り立つ.
$$
(f+g)_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)
=f_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)+g_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)
$$
定数倍の再スケール微分法則
$k\in\mathbb{R},\,f$が再スケール微分可能のとき,
$$
(kf)_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)
=kf_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)
$$
となる条件を求めます.
$$
(kf)_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)
=\frac{(kf)'(x)(Y^{-1})'((kf)(x))}{(X^{-1})'(x)}
=\frac{kf'(x)(Y^{-1})'(kf(x))}{(X^{-1})'(x)}
$$
$$
kf_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)
=\frac{kf'(x)(Y^{-1})'(f(x))}{(X^{-1})'(x)}
$$
$(X^{-1})'(x)\neq 0$なので
$$
kf'(x)(Y^{-1})'(kf(x))
=kf'(x)(Y^{-1})'(f(x))
$$
両辺を積分して
$$
(Y^{-1})(kf(x))
=k(Y^{-1})(f(x))+\text{定数}
$$
これを満たす$Y$は$Y(x)=C_1 x+C_2$のみに限られる.
$Y(x)=C_1x+C_2\,(C_1,\,C_2\in\mathbb{R},\,C_1\neq 0)$のとき, 次が成り立つ.
$$
(kf)_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)
=kf_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)
$$
積の再スケール微分法則
$f,\,g$が再スケール微分可能のとき$(fg)_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)=f_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)g(x)+f(x)g_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)$を満たすような条件を求めます.
$$
(fg)_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)
=\frac{(fg)'(x)(Y^{-1})'((fg)(x))}{(X^{-1})'(x)}
=\frac{(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))(Y^{-1})'(f(x)g(x))}{(X^{-1})'(x)}
$$
$$
f_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)g(x)+f(x)g_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)
=\frac{f'(x)(Y^{-1})'(f(x))}{(X^{-1})'(x)}\cdot g(x)+f(x)\cdot\frac{g'(x)(Y^{-1})'(g(x))}{(X^{-1})'(x)}
$$
$(X^{-1})'(x)\neq 0$なので
$$
(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))(Y^{-1})'(f(x)g(x))
=f'(x)(Y^{-1})'(f(x))g(x)+f(x)g'(x)(Y^{-1})'(g(x))
$$
$$
\dfrac{d}{dx}(Y^{-1})((fg)(x))
=g(x)\dfrac{d}{dx}(Y^{-1})(f(x))+f(x)\dfrac{d}{dx}(Y^{-1})(g(x))
$$
これを満たす$Y$を直接求めるのは厳しいので, 事前に用意した関数方程式を当てはめて考えて, $Y,\,f,\,g$の条件を含めた特殊解を求めます.
$Y(x)=C_1 x+C_2$のとき, $(Y^{-1})'(x)=C=\text{定数}$なので
$$
(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))C=Cf'(x)g(x)+Cf(x)g'(x)
$$
このときは成り立つ.
$\dfrac{d}{dx}(Y^{-1})((fg)(x))
=g(x)\dfrac{d}{dx}(Y^{-1})(f(x))+f(x)\dfrac{d}{dx}(Y^{-1})(g(x))$を満たす$Y,\,f,\,g$に対して, 次が成り立つ.
$$
(fg)_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)=f_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)g(x)+f(x)g_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)
$$
特に$Y(x)=C_1x+C_2\,(C_1,\,C_2\in\mathbb{R},\,C_1\neq 0)$のとき, 任意の$f,\,g$で成り立つ.
商の再スケール微分法則
$f(x)\neq0,\,f$が再スケール微分可能のとき
$$
\left(\frac{1}{f}\right)_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)=-\frac{f_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)}{f(x)^2}
$$
となる条件を求める.
$$
\left(\frac{1}{f}\right)_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)
=\frac{\left(\frac{1}{f(x)}\right)'(Y^{-1})'\left(\frac{1}{f(x)}\right)}{(X^{-1})'(x)}
=-\frac{f'(x)(Y^{-1})'\left(\frac{1}{f(x)}\right)}{f(x)^2(X^{-1})'(x)}
$$
$$
-\frac{f_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)}{f(x)^2}
=-\frac{f'(x)(Y^{-1})'(f(x))}{f(x)^2(X^{-1})'(x)}
$$
$(X^{-1})'(x)\neq 0$なので
$f:$定数関数または$(Y^{-1})'\left(\frac{1}{f(x)}\right)=(Y^{-1})'(f(x))$
$(Y^{-1})'\left(\frac{1}{f(x)}\right)=(Y^{-1})'(f(x))$のとき, $(Y^{-1})'(x)=g(x)+g(\frac{1}{x})$と書ければ解となる.
$f$が定数関数のとき, またはある関数$g$が存在して, $(Y^{-1})'(x)=g(x)+g(\frac{1}{x})$と書けるとき, 次が成り立つ.
$$
\left(\frac{1}{f}\right)_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)=-\frac{f_{\nabla\rsc(X,\,Y)}(x)}{f(x)^2}
$$
再スケール積分法則
$f$は再スケール可積分とするとき, $f$は積分可能で次が成り立つ.
$$
\rscint f(x)\,dx=Y\left(\int (X^{-1})'(x)f(x)\,dx\right)
$$
再スケール微分では$Y^{-1}(f(x))$が含まれるので微分の四則をそのまま当てはめられる条件を求めましたが, 積分は
和の再スケール積分法則
$f,\,g$は再スケール可積分とする.
$$
\rscint (f+g)(x)\,dx
=Y\left(\int (X^{-1})'(x)(f+g)(x)\,dx\right)
$$
$$
=Y\left(\int (X^{-1})'(x)f(x)\,dx+\int (X^{-1})'(x)g(x)\,dx\right)
$$
$$
=Y\left(Y^{-1}\left(\rscint f(x)\,dx\right)+Y^{-1}\left(\rscint g(x)\,dx\right)\right)
$$
定数倍の再スケール積分法則
$k\in\mathbb{R},\,f$は再スケール可積分とする.
$$
\rscint (kf)(x)\,dx
=Y\left(\int (X^{-1})'(x)(kf)(x)\,dx\right)
$$
$$
=Y\left(k\int (X^{-1})'(x)f(x)\,dx\right)
$$
$$
=Y\left(k\,Y^{-1}\left(\rscint f(x)\,dx\right)\right)
$$
再スケール積分法則
和
$$ \rscint (f+g)(x)\,dx =Y\left(Y^{-1}\left(\rscint f(x)\,dx\right)+Y^{-1}\left(\rscint g(x)\,dx\right)\right) $$
定数倍
$$ \rscint (kf)(x)\,dx =Y\left(k\,Y^{-1}\left(\rscint f(x)\,dx\right)\right) $$
多項式の再スケール積分
$f$の$n$階微分を$f^{(n)}$とし, $g$の$n$階積分を$G_n$とする.
$$
\int f(x)g(x)\,dx=(-1)^n\int f^{(n)}(x)G_n(x)\,dx+\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} f^{(k-1)}(x)G_k(x)
$$
$\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k$と表せるとする. $g(x)=(X^{-1})'(x)$として, これを適応して
$$
\int (X^{-1})'(x)f(x)\,dx=(-1)^{n+1}\int f^{(n+1)}(x)(X^{-1})_n(x)\,dx+\sum_{l=0}^n (-1)^l f^{(l)}(x)(X^{-1})_l(x)=\sum_{l=0}^n (-1)^l f^{(l)}(x)(X^{-1})_l(x)
$$
$\displaystyle f^{(m)}(x)=\sum_{k=m}^n \frac{k!}{(k-m)!} a_k x^{k-m}$なので
$$
=\sum_{l=0}^n (-1)^l (X^{-1})_l(x) \sum_{k=l}^n \frac{k!}{(k-l)!} a_k x^{k-l}
=\sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^k \frac{(-1)^l k! a_k}{(k-l)!} (X^{-1})_l(x) x^{k-l}
$$
$(X^{-1})_n$を$X^{-1}$の$n$階積分とする. $\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k$と表せるとき, 次が成り立つ.
$$
\rscint f(x)\,dx
=Y\left(\sum_{k=0}^n \sum_{l=0}^k \frac{(-1)^l k! a_k}{(k-l)!} (X^{-1})_l(x) x^{k-l}\right)
$$
おわりに
最後の多項式の再スケール積分を超微分の方でやろうとしたけど特に目立った成果が出ず詰まってしまった... 超微分をやってる人が少ないのでやることが単調になってしまい書くことがなくなりました. しばらく再スケールは休むかな?
