今日のゴミ積分(易化)を解いた

初めに

https://x.com/kammyu_unfixed/status/2038515362539733440
これを全部ときます。
以下積分定数を$C$, $C_n$とします。

自明(1), (2), (4), (5), (6), (9), (10)

(1)

コメント: x=0のとき場合分けいるかどうかなど...
$$ \begin{align} &\int\;(\frac{x+x}{\frac{x}{x}})\;dx \\ =&\int\;(2x)\;dx\\ =&x^2+C \end{align} $$

(2)

コメント: 典型
$$ \begin{align} &\int\;(log(x))\;dx \\ =&\int\; (1)'log(x)\;dx \\ =&xlogx-x+C \end{align} $$

(4)

コメント: $x^a$の積分は実数まで拡張できる
$$ \begin{align} &\int\;x^\pi\;dx\\ =&\pi{x}^{\pi-1}+C \end{align} $$

(5)

コメント: 簡単
$$ \begin{align} &\int\;4\;dx\\ =&4x+C \end{align} $$

(6), (9)

コメント: 同じ
$$ \begin{align} &\int\;x\;dx\\ =&\frac{1}{2}x^2+C \end{align} $$

(10)

コメント: 和の積分は積分の和
$$ \begin{align} &\int\;(x-x+sin(x)+3+x)\;dx\\ =&\int\;(sin(x))\;dx+\int\;(x)\;dx+\int\;(3)\;dx\\ =&-cos(x)+\frac{1}{2}x^2+3x+C \end{align} $$

カス(3)

(3)

コメント: 意外と良問説...？$x(sin(logx))$なら良かった
$$ \begin{align} I=&\int\;(1+xsin(log(\frac{x}{11})))\;dx \end{align} $$
$t=log(\frac{x}{11})$とおくと、$dt=\frac{1}{x}dx$
$$ \begin{align} I&=x+\int x^2sin(t)dt+C_1\\ &=x+\int (11e^t)^2sin(t)dt+C_1\\ &=x+121\int e^{2t}sin(t) dt+C_1\\ &=x+\frac{121e^{2t}}{5}(2sint-cost)+C\\ &=x+\frac{x^2(2sin(log(\frac{x}{11}))-cos(log(\frac{x}{11})))}{5}+C \end{align} $$

解けない(7), (8)

(7)

$$ \begin{align} I&=\int{(x)^{(x)\cdot((sin((1)\cdot(x))+x-x)\cdot((x)\cdot(x+x)+x))}\cdot{(x)}}dx\\ &=\int x^{x(2x^2+x)sinx+1} dx \end{align} $$

(8)

$$ \begin{align} I&=\int(4\cdot(\frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\sqrt{\frac{(cos(\frac{x}{\pi}))}{x}\cdot(x)}+(1)\cdot(x)}}))dx\\ &=4\int\frac{1}{\sqrt{\sqrt{cos(\frac{x}{\pi})}+x}}dx \end{align} $$