任意の桁数の素数が存在する

$p$を$d(p)<n$なる素数とすれば, ベルトランの仮説により, ある素数$p_1$が存在して
$$p+1<p_1<2p+2$$
が成り立つ. また, $2p$の一の位は$0,2,4,\dots ,8$のいずれかだから, $d(2p+1)=d(2p)$である. そして
$$\begin{array}{rl}d(2p)& =\lfloor 1+{\log }_{10}2p\rfloor \\ & =\lfloor 1+{\log }_{10}2+{\log }_{10}p\rfloor \\ & \le \lfloor 2+{\log }_{10}p\rfloor \\ & =d(p)+1\end{array}$$
であるから, $d(p_1)\le d(2p+1)=d(2p)\le d(p)+1$である. それゆえ, $p=2$などとしてこのような素数$p_1$を求め, $p_1$にも同じ操作を行って$p_2,p_3,\dots$を求めていけば, 有限回で$d(p_i)=n$となる素数が求められる.

ベルトランの仮説により, 任意の$n\ge 0$に対し
$${10}^{n-1}<p<2\cdot {10}^{n-1}$$
となる素数$p$が存在する. そして, $d(n)$は広義単調増加だから
$$n=d({10}^{n-1})\le p\le d(2\cdot {10}^{n-1})=n$$
となり, したがって任意の$n$に対し$d(p)=n$となる素数$p$が存在する.