任意の桁数の素数が存在する
$x > 0$に対し$d(x) \coloneqq \floor{1 + \log_{10}{x}}$とする. このとき, 任意の正の整数$n$に対し, ある素数$p$が存在して
$$
d(p) = n
$$
となる.
$p$を$d(p) < n$なる素数とすれば, ベルトランの仮説により, ある素数$p_1$が存在して
$$
p + 1 < p_1 < 2 p + 2
$$
が成り立つ. また, $2p$の一の位は$0, 2, 4, \dotsc, 8$のいずれかだから, $d(2p + 1) = d(2p)$である. そして
\begin{align}
d(2p) &= \floor{1 + \log_{10}{2p}} \\ &= \floor{1 + \log_{10}{2} + \log_{10}{p}} \\ &\le \floor{2 + \log_{10}{p}} \\ &= d(p) + 1
\end{align}
であるから, $d(p_1) \le d(2p + 1) = d(2p) \le d(p) + 1$である. それゆえ, $p = 2$などとしてこのような素数$p_1$を求め, $p_1$にも同じ操作を行って$p_2, p_3, \dotsc$を求めていけば, 有限回で$d(p_i) = n$となる素数が求められる.
Y.K. さんによる証明を紹介します. こっちの証明のほうがわかりやすいかも. (最初間違えて$n = d(10^n)$と書いてしまいました. すみませんでした. )
ベルトランの仮説により, 任意の$n \ge 0$に対し
$$
10^{n - 1} < p < 2 \cdot 10^{n - 1}
$$
となる素数$p$が存在する. そして, $d(n)$は広義単調増加だから
$$
n = d(10^{n - 1}) \le p \le d(2\cdot10^{n - 1}) = n
$$
となり, したがって任意の$n$に対し$d(p) = n$となる素数$p$が存在する.
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