確率100％と期待値∞のパラドックス

まず、確率100％のパラドックス
まず、ゲームを定義します。

まあ私はこういう方法を考えました。

まずn回試した時を考えて行きますが、まあ2n+1回目までに得している確率は、
カタラン数を用いて1-$\frac{4n+2!}{ 2n+1!^{2}(2n+2) 2^{2n+1} }$

期待値∞のパラドックス

期待値∞のパラドックスは
サンクトペテルブルクのパラドックスとして有名ですが、
最初のパラドックスと比べてみると

期待値・確率で観れば、
確率100％のパラドックスは期待値は普通だが、確率は100％
期待値∞のパラドックスは確率は普通だが、期待値が∞
どちらも$$\lim_{n \to \infty}$$でこのような結果
このことを考えるとこの二つは同じ部類のパラドックスであり、
正反対の性質をもっているという点で、とても素晴らしいと思いました。

引用先

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%9A%E3%83%86%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9