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確率100％と期待値∞のパラドックス

パラドックス,綺麗

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まず、確率100％のパラドックス
まず、ゲームを定義します。

ゲーム

あなたは0円持っています。そしてとあるゲームをしようとしています。
そのゲームとは、くじを引き
当たり⇒1円貰う　外れ⇒-1円貰う　というもの。

まあ私はこういう方法を考えました。

方法

1回試す。当たりならゲームをやめる。外れならもう一回
そして合計の得＞合計の損になった時点でやめる。

まずn回試した時を考えて行きますが、まあ2n+1回目までに得している確率は、
カタラン数を用いて1- $\frac{4 n + 2!}{2 n + 1!^{2} (2 n + 2) 2^{2 n + 1}}$

$lim_{n \to \infty} 1 - \frac{4 n + 2!}{2 n + 1!^{2} (2 n + 2) 2^{2 n + 1}} = 1$ なので確率100％

期待値∞のパラドックス

サンクトペテルブルクのパラドックス(期待値∞のパラドックス)

$lim_{n \to \infty}$ $\sum_{k = 1}^{n}$ $\frac{1}{2^{k}}$ $2^{k - 1}$ =期待値＝∞

期待値∞のパラドックスは
サンクトペテルブルクのパラドックスとして有名ですが、
最初のパラドックスと比べてみると

,,,,,,,,,,,,,,,,,,	期待値	確率
確率100％のパラドックス	0	100％
期待値∞のパラドックス	∞	50％

期待値・確率で観れば、
確率100％のパラドックスは期待値は普通だが、確率は100％
期待値∞のパラドックスは確率は普通だが、期待値が∞
どちらも $lim_{n \to \infty}$ でこのような結果
このことを考えるとこの二つは同じ部類のパラドックスであり、
正反対の性質をもっているという点で、とても素晴らしいと思いました。

引用先

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%9A%E3%83%86%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%82%AF%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9

投稿日：2023年12月21日

更新日：2023年12月21日

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SK 322

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中学一年です。趣味は数学です。よろしくお願いします。

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