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q超幾何級数によるJacobiの二平方和定理, 四平方和定理の証明

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Jacobiの二平方和定理

$\begin{aligned} {(\sum_{n \in Z} q^{n^{2}})}^{2} & = 1 + 4 \sum_{0 < n} \frac{q^{n}}{1 + q^{2 n}} \end{aligned}$

Ramanujanの $_{1} ψ_{1}$ 和公式
$\begin{aligned} _{1} ψ_{1} [\begin{array}{c} a \\ c \end{array}; q; x] & = \frac{(q, c / a, a x, q / a x; q)_{\infty}}{(c, q / a, x, c / a x; q)_{\infty}} \end{aligned}$
より,
$\begin{aligned} 1 + 4 \sum_{0 < n} \frac{q^{n}}{1 + q^{2 n}} & = 2 \sum_{n \in Z} \frac{q^{n}}{1 + q^{2 n}} \\ =_{1} ψ_{1} [\begin{array}{c} - 1 \\ - q^{2} \end{array}; q^{2}; q] \\ = \frac{(q^{2}, q^{2}, - q, - q; q^{2})_{\infty}}{(q, q, - q^{2}, - q^{2}; q^{2})_{\infty}} \\ = {(\frac{(q^{2}, - q; q^{2})_{\infty}}{(q, - q^{2}; q^{2})_{\infty}})}^{2} \\ = (q^{2}, - q, - q; q)_{\infty}^{2} \end{aligned}$
ここで, Jacobiの三重積より,
$\begin{aligned} (q^{2}, - q, - q; q)_{\infty} & = \sum_{n \in Z} q^{n^{2}} \end{aligned}$
であることから示される.

$r_{k} (n) = | {(n_{1}, \dots, n_{k}) \in Z^{k}; n = n_{1}^{2} + \dots + n_{k}^{2}} |$ として, $d$ が $n$ を割り切ることを $d ∣ n$ , $d$ が $n$ を割り切らないことを $d ∤ n$ と表すことにする. 上の定理の両辺の係数を比較することによって, $0 < n$ に対し,
$\begin{aligned} r_{2} (n) & = 4 \sum_{2 ∤ d ∣ n} (- 1)^{\frac{d - 1}{2}} \end{aligned}$
を得る.

Jacobiの四平方和定理

$\begin{aligned} {(\sum_{n \in Z} q^{n^{2}})}^{4} & = 1 + 8 \sum_{0 < n} \frac{n q^{n}}{1 + (- q)^{n}} \end{aligned}$

Ramanujanの $_{1} ψ_{1}$ 和公式
$\begin{aligned} _{1} ψ_{1} [\begin{array}{c} a \\ c \end{array}; q; x] & = \frac{(q, c / a, a x, q / a x; q)_{\infty}}{(c, q / a, x, c / a x; q)_{\infty}} \end{aligned}$
と, Jacobiの三重積から従う等式
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} (- q)^{n^{2}} & = \frac{(q; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
より,
$\begin{aligned} {(\sum_{n \in Z} (- q)^{n^{2}})}^{4} & = {(\frac{(q; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}})}^{4} \\ = lim_{x \to - q} \frac{2}{1 + q / x} \frac{(q, q, - x, - q / x; q)_{\infty}}{(- q, - q, x, q / x; q)_{\infty}} \\ = lim_{x \to - q} \frac{2}{1 + q / x}_{1} ψ_{1} [\begin{array}{c} - 1 \\ - q \end{array}; x] \\ = lim_{x \to - q} \frac{2}{1 + q / x} (1 + 2 \sum_{0 < n} \frac{x^{n}}{1 + q^{n}} + 2 \sum_{0 < n} \frac{(q / x)^{n}}{1 + q^{n}}) \\ = lim_{x \to - q} \frac{2}{1 + q / x} (1 + 2 \sum_{0 < n} \frac{x^{n}}{1 + q^{n}} + 2 \sum_{0 < n} \frac{(q / x)^{n}}{1 + q^{n}}) \\ = lim_{x \to - q} \frac{2}{1 + q / x} (1 + 2 \sum_{0 < n} \frac{x^{n}}{1 + q^{n}} + 2 \sum_{0 < n} ((q / x)^{n} - \frac{(q^{2} / x)^{n}}{1 + q^{n}})) \\ = lim_{x \to - q} \frac{2}{1 + q / x} (\frac{1 + q / x}{1 - q / x} + 2 \sum_{0 < n} \frac{x^{n}}{1 + q^{n}} (1 - (q / x)^{2 n})) \\ = 1 + 8 \sum_{0 < n} \frac{n (- q)^{n}}{1 + q^{n}} \end{aligned}$
よって, $q$ を $- q$ に置き換えれば定理を得る.

上の定理は,
$\begin{aligned} \sum_{0 < n} \frac{n q^{n}}{1 + (- q)^{n}} & = \sum_{0 < n} \frac{2 n q^{2 n}}{1 + q^{2 n}} + \sum_{0 < n} \frac{(2 n - 1) q^{2 n - 1}}{1 - q^{2 n - 1}} \\ = \sum_{0 < n} (\frac{2 n q^{2 n}}{1 - q^{2 n}} - \frac{4 n q^{4 n}}{1 - q^{4 n}}) + \sum_{0 < n} \frac{(2 n - 1) q^{2 n - 1}}{1 - q^{2 n - 1}} \\ = \sum_{0 < n, 4 ∤ n} \frac{n q^{n}}{1 - q^{n}} \end{aligned}$
を用いて,
$\begin{aligned} {(\sum_{n \in Z} q^{n^{2}})}^{4} & = 1 + 8 \sum_{0 < n, 4 ∤ n} \frac{n q^{n}}{1 - q^{n}} \end{aligned}$
と書き直せるので, 両辺の係数を比較して $0 < n$ に対し,
$\begin{aligned} r_{4} (n) & = 8 \sum_{4 ∤ d ∣ n} d \end{aligned}$
を得る. 特に $0 < n$ に対して, $0 < r_{4} (n)$ であることが分かる.