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q超幾何級数によるJacobiの二平方和定理, 四平方和定理の証明

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Jacobiの二平方和定理

\begin{align} \left(\sum_{n\in\ZZ}q^{n^2}\right)^2&=1+4\sum_{0< n}\frac{q^n}{1+q^{2n}} \end{align}

Ramanujanの${}_1\psi_1$和公式
\begin{align} \BQ11{a}c{q;x}&=\frac{(q,c/a,ax,q/ax;q)_{\infty}}{(c,q/a,x,c/ax;q)_{\infty}} \end{align}
より,
\begin{align} 1+4\sum_{0< n}\frac{q^n}{1+q^{2n}}&=2\sum_{n\in\ZZ}\frac{q^n}{1+q^{2n}}\\ &=\BQ11{-1}{-q^2}{q^2;q}\\ &=\frac{(q^2,q^2,-q,-q;q^2)_{\infty}}{(q,q,-q^2,-q^2;q^2)_{\infty}}\\ &=\left(\frac{(q^2,-q;q^2)_{\infty}}{(q,-q^2;q^2)_{\infty}}\right)^2\\ &=(q^2,-q,-q;q)_{\infty}^2 \end{align}
ここで, Jacobiの三重積より,
\begin{align} (q^2,-q,-q;q)_{\infty}&=\sum_{n\in\ZZ}q^{n^2} \end{align}
であることから示される.

$r_k(n)=|\{(n_1,\dots,n_k)\in\ZZ^k;n=n_1^2+\cdots+n_k^2\}|$として, $d$が$n$を割り切ることを$d\mid n$, $d$が$n$を割り切らないことを$d\nmid n$と表すことにする. 上の定理の両辺の係数を比較することによって, $0< n$に対し,
\begin{align} r_2(n)&=4\sum_{2\nmid d\mid n}(-1)^{\frac{d-1}2} \end{align}
を得る.

Jacobiの四平方和定理

\begin{align} \left(\sum_{n\in\ZZ}q^{n^2}\right)^4&=1+8\sum_{0< n}\frac{nq^n}{1+(-q)^n} \end{align}

Ramanujanの${}_1\psi_1$和公式
\begin{align} \BQ11{a}c{q;x}&=\frac{(q,c/a,ax,q/ax;q)_{\infty}}{(c,q/a,x,c/ax;q)_{\infty}} \end{align}
と, Jacobiの三重積から従う等式
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}(-q)^{n^2}&=\frac{(q;q)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}} \end{align}
より,
\begin{align} \left(\sum_{n\in\ZZ}(-q)^{n^2}\right)^4&=\left(\frac{(q;q)_{\infty}}{(-q;q)_{\infty}}\right)^4\\ &=\lim_{x\to -q}\frac{2}{1+q/x}\frac{(q,q,-x,-q/x;q)_{\infty}}{(-q,-q,x,q/x;q)_{\infty}}\\ &=\lim_{x\to -q}\frac{2}{1+q/x}\BQ11{-1}{-q}{x}\\ &=\lim_{x\to -q}\frac{2}{1+q/x}\left(1+2\sum_{0< n}\frac{x^n}{1+q^n}+2\sum_{0< n}\frac{(q/x)^n}{1+q^n}\right)\\ &=\lim_{x\to -q}\frac{2}{1+q/x}\left(1+2\sum_{0< n}\frac{x^n}{1+q^n}+2\sum_{0< n}\frac{(q/x)^n}{1+q^n}\right)\\ &=\lim_{x\to -q}\frac{2}{1+q/x}\left(1+2\sum_{0< n}\frac{x^n}{1+q^n}+2\sum_{0< n}\left((q/x)^n-\frac{(q^2/x)^n}{1+q^n}\right)\right)\\ &=\lim_{x\to -q}\frac{2}{1+q/x}\left(\frac{1+q/x}{1-q/x}+2\sum_{0< n}\frac{x^n}{1+q^n}(1-(q/x)^{2n})\right)\\ &=1+8\sum_{0< n}\frac{n(-q)^n}{1+q^n} \end{align}
よって, $q$を$-q$に置き換えれば定理を得る.

上の定理は,
\begin{align} \sum_{0< n}\frac{nq^n}{1+(-q)^n}&=\sum_{0< n}\frac{2nq^{2n}}{1+q^{2n}}+\sum_{0< n}\frac{(2n-1)q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}\\ &=\sum_{0< n}\left(\frac{2nq^{2n}}{1-q^{2n}}-\frac{4nq^{4n}}{1-q^{4n}}\right)+\sum_{0< n}\frac{(2n-1)q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}\\ &=\sum_{0< n,4\nmid n}\frac{nq^n}{1-q^n} \end{align}
を用いて,
\begin{align} \left(\sum_{n\in\ZZ}q^{n^2}\right)^4&=1+8\sum_{0< n,4\nmid n}\frac{nq^n}{1-q^n} \end{align}
と書き直せるので, 両辺の係数を比較して$0< n$に対し,
\begin{align} r_4(n)&=8\sum_{4\nmid d\mid n}d \end{align}
を得る. 特に$0< n$に対して, $0< r_4(n)$であることが分かる.