調和数付きDougallの和公式から得られる対称モーメント

前回の記事 で以下の結果を示した.

今回はそれを用いていきたい. 定理1を
\begin{align} &\frac{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,a-w)_N}{(b,c,d,1+w)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{2n+w}w\frac{(w,w+b-a,w+c-a,w+d-a,a+N,-N)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1-N+w-a,1+w+N)_n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac 1{e+k}+\frac 1{f+k}\right)\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f)_n}{(a,b,c,d,e,f)_{n+1}}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)\left(\left(k+\frac a2\right)^2+1-s_2-s_3\right)(a,b,c,d,e,f)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f)_k}\\ &\qquad-\frac{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,a-w)_N}{(b,c,d,1+w)_N}\\ &\qquad\cdot\frac{2N+w}w\frac{(w,w+b-a,w+c-a,w+d-a,a+N,-N)_N}{N!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1-N+w-a,1+w+N)_N}\sum_{k=0}^{N-1}\left(\frac 1{e+k}+\frac 1{f+k}\right)\\ &\qquad+(1+a-b-c-d)\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f)_n}{(a,b,c,d,e,f)_{n+1}}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)\left(\left(k+\frac a2\right)^2+1-s_2-s_3\right)(a,b,c,d,e,f)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f)_k}\\ &\qquad-\frac{(w+b-a,w+c-a,w+d-a,a+N)_N}{(b,c,d,w+N)_N}\sum_{k=0}^{N-1}\left(\frac 1{e+k}+\frac 1{f+k}\right)\\ &\qquad+(1+a-b-c-d)\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k} \end{align}
を$w-a$で割ってから$w\to a$, つまり$d\to 1+a-b-c$とすると
\begin{align} &\frac{N!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_N}{(a,b,c,d)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a)(a,b,c,d)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}\frac{1}{(n-N)(n+N+a)}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac 1{e+k}+\frac 1{f+k}\right)\\ &=\lim_{w\to a}\frac 1{w-a}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f)_n}{(a,b,c,d,e,f)_{n+1}}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)\left(\left(k+\frac a2\right)^2+1-s_2-s_3\right)(a,b,c,d,e,f)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f)_k}\\ &\qquad-\frac{(w+b-a,w+c-a,w+d-a,a+N)_N}{(w-a)(b,c,d,w+N)_N}\sum_{k=0}^{N-1}\left(\frac 1{e+k}+\frac 1{f+k}\right)\\ &\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k} \end{align}
ここで,
\begin{align} &\sum_{k=0}^{N-1}\left(\frac 1{e+k}+\frac 1{f+k}\right)\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+e+f)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,e,f)_n}{(a,b,c,d,e,f)_{n+1}}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(((k+a)(k+b)(k+c)(k+d)-k(k+a-b)(k+a-c)(k+a-d))(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}\\ &=-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+e+f)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,e,f)_n}{(a,b,c,d,e,f)_{n+1}}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)\left(t_1\left(k+\frac a2\right)^2+t_3\right)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}\\ &\left(x-\frac a2\right)\left(x+\frac a2-b\right)\left(x+\frac a2-c\right)\left(x+\frac a2-d\right)=:\sum_{k=0}^4t_{4-k}x^k \end{align}
を用いると,
\begin{align} &\frac{N!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_N}{(a,b,c,d)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a)(a,b,c,d)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}\frac{1}{(n-N)(n+N+a)}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac 1{e+k}+\frac 1{f+k}\right)\\ &=\lim_{w\to a}\frac 1{w-a}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d,e,f)_{n+1}}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d,e,f)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}\\ &\qquad\left(\frac{(2n+a+1)\left(\left(k+\frac a2\right)^2+1-s_2-s_3\right)(1+a-e,1+a-f)_n}{(1+a-e,1+a-f)_k}+\frac{(w+b-a,w+c-a,w+d-a,a+N)_N}{(b,c,d,w+N)_N}\frac{(2n+e+f)\left(t_1\left(k+\frac a2\right)^2+t_3\right)(e,f)_n}{(e,f)_k}\right)\\ &\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}(n+e)(n+f)}\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}\\ &\qquad\left(\left(k+\frac a2\right)^2+bcd-\frac{a^2}4\right)\left(\sum_{j=0}^{N-1}\left(\frac 1{j+a+N}-\frac 1{j+b}-\frac 1{j+c}-\frac 1{j+d}\right)-\sum_{j=k}^{n-1}\left(\frac 1{j+e}+\frac 1{j+f}\right)-\frac 1{2n+a+1}\right)\\ &\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}(n+e)(n+f)}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)\left(\lim_{w\to a}\frac 1{w-a}\left((1+t_1)\left(k+\frac a2\right)^2+1+t_3-s_2-s_3\right)\right)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}\\ &\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac 1{n+e}+\frac 1{n+f}\right)\sum_{j=0}^{N-1}\left(\frac 1{j+a+N}-\frac 1{j+b}-\frac 1{j+c}-\frac 1{j+d}\right)-\sum_{n=0}^{N-1}\frac 1{(n+e)(n+f)}\\ &\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}(n+e)(n+f)}\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac 1{j+e}+\frac 1{j+f}\right)\frac{(a,b,c,d)_{j+1}}{j!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_j}\\ &\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}(n+e)(n+f)}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)\left(\lim_{w\to a}\frac 1{w-a}\left((1+t_1)\left(k+\frac a2\right)^2+1+t_3-s_2-s_3\right)\right)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}\\ &\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k} \end{align}

$t:=1+a-b-c-d$として,
\begin{align} t_1&=t-1\\ t_3&=\frac{a^2}4-bc(1+a-b-c)-\frac{a^2}4t+bct \end{align}
であり,
\begin{align} &\frac{d}{dt}\left(x-\frac a2\right)\left(x+\frac a2-b\right)\left(x+\frac a2-c\right)\left(x+\frac a2-(1+a-b-c-t)\right)\left(x+\frac a2-e\right)\left(x+\frac a2-(1+a+t-e)\right)\\ &=(e-b-c-2t)\left(x-\frac a2\right)\left(x+\frac a2-b\right)\left(x+\frac a2-c\right)\left(x+\frac a2-e\right) \end{align}
より,
\begin{align} 1-s_2-s_3&=bc(1+a-b-c)-\frac{a^2}{4}-(e-b-c)(1+a-b-c-e)t\\ &=bc(1+a-b-c)-\frac{a^2}{4}+(e-b-c)(e-d)t \end{align}
と書ける. よって,
\begin{align} \lim_{w\to a}\frac 1{w-a}\left((1+t_1)\left(k+\frac a2\right)^2+1+t_3-s_2-s_3\right)&=\left(k+\frac a2\right)^2-\frac{a^2}4+e^2-(b+c+d)e+bc+bd+cd\\ &=\left(k+\frac a2\right)^2-\frac{a^2}4+bc+bd+cd-ef \end{align}
となる. よって
\begin{align} &\frac{N!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_N}{(a,b,c,d)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a)(a,b,c,d)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}\frac{1}{(n-N)(n+N+a)}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac 1{e+k}+\frac 1{f+k}\right)\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac 1{n+e}+\frac 1{n+f}\right)\sum_{j=0}^{N-1}\left(\frac 1{j+a+N}-\frac 1{j+b}-\frac 1{j+c}-\frac 1{j+d}\right)-\sum_{n=0}^{N-1}\frac 1{(n+e)(n+f)}\\ &\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}(n+e)(n+f)}\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac 1{j+e}+\frac 1{j+f}\right)\frac{(a,b,c,d)_{j+1}}{j!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_j}\\ &\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}(n+e)(n+f)}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)\left(\left(k+\frac a2\right)^2-\frac{a^2}4+bc+bd+cd-ef\right)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}\\ &\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k} \end{align}
を得る. ここで,
\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}(n+e)(n+f)}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)\left(\left(k+\frac a2\right)^2-\frac{a^2}4+bc+bd+cd-ef\right)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}(n+e)(n+f)}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)\left(\left(k+\frac a2\right)^2+bcd-\frac{a^2}4\right)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}\\ &\qquad+(bc+bd+cd-bcd-ef)\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}(n+e)(n+f)}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac 1{n+e}+\frac 1{n+f}\right)\\ &\qquad+(bc+bd+cd-bcd-ef)\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}(n+e)(n+f)}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k} \end{align}
と書き換えることができる. よって以下の対称モーメントに関する公式を得る.

例として, $a=b=c=d=\frac 12, e=w$のとき,
\begin{align} &\left(\frac{N!}{\left(\frac 12\right)_N}\right)^4\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}\right)^4\frac{2n+\frac 12}{(n-N)\left(n+N+\frac 12\right)}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac 1{w+k}+\frac 1{\frac 32-w+k}\right)\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac{1}{w+n}+\frac{1}{\frac{3}{2}-w+n}\right)\left(1+\sum_{j=0}^{N-1}\left(\frac{1}{j+\frac{1}{2}+N}-\frac{3}{j+\frac{1}{2}}\right)\right)-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{\left(n+w\right)\left(n+\frac{3}{2}-w\right)}\\ &\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac{n!}{\left(\frac 12\right)_{n+1}}\right)^4\left(\frac 1{n+w}+\frac 1{\frac 32-w+n}\right)\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{1}{j+\frac{3}{2}-w}+\frac{1}{j+w}\right)\left(\frac{\left(\frac 12\right)_{j+1}}{j!}\right)^4\\ &\qquad+\left(w^2-\frac 32w+\frac{5}{8}\right)\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac{1}{n+w}+\frac{1}{n+\frac{3}{2}-w}\right)\left(\frac{n!}{\left(\frac 12\right)_{n+1}}\right)^{4}\sum_{j=0}^{n}\left(2j+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\left(\frac 12\right)_j}{j!}\right)^{4}\\ &\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\left(2n+\frac{3}{2}\right)\left(\frac{n!}{\left(\frac 12\right)_{n+1}}\right)^{4}\sum_{j=0}^{n}\left(2j+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\left(\frac 12\right)_j}{j!}\right)^{4} \end{align}
を得る.