ノート：トポス (1) - 初等トポスは有限余完備である

冪対象の普遍性から$\envcat(\pow B',\pow B)\simeq\envcat(B\times\pow B',\Omega)$が従うが、この同型は$\exists_k$の定義から$\exists_k$を$\prescript{}{k}{E}$に対応させることがわかる。

示すべき図式に対してこれらの同型 ($\exists_k\mapsto\prescript{}{k}{E}$, $\exists_m\mapsto\prescript{}{m}{E}$, $\envcat(\pow B',\pow C)\simeq\envcat(C\times\pow B',\Omega)$) を適用すると、次の図式の可換性を証明すればよいことがわかる。
\begin{xy} \xymatrix{ C\times\pow B' \ar[r]^-{C\times\pow g'} \ar[d]_-{g\times\pow B'} & C\times\pow C' \ar[d]^-{\prescript{}{m}{E}} \\ B\times\pow B' \ar[r]_-{\prescript{}{k}{E}} & \Omega } \end{xy}
2つの射$\prescript{}{m}{E}\conc(C\times\pow g')$, $\prescript{}{k}{E}\conc(g\times\pow B')$それぞれについて、次のような引き戻し図式が書ける
\begin{xy} \xymatrix@M=9pt{ R \ar@{-->}[r] \ar@{^{(}-->}[d]_-{r} & E_{C'} \ar[r] \ar@{^{(}->}[d] & 1 \ar[dd]^-{\mathtt{true}} \\ C'\times\pow B' \ar[r]^-{C'\times\pow g'} \ar@{^{(}->}[d]_-{m\times\pow B'} & C'\times\pow C' \ar@{^{(}->}[d]^-{m\times\pow C'} \ar@/^1em/[rd]^-{\in_{C'}} \\ C\times\pow B' \ar[r]_-{C\times\pow g'} & C\times\pow C' \ar[r]_-{\prescript{}{m}{E}} & \Omega } \end{xy}
\begin{xy} \xymatrix@M=9pt{ R' \ar@{-->}[r] \ar@{^{(}-->}[d]_-{r'} & E_{B'} \ar@{^{(}->}[d] \ar[r] & 1 \ar[dd]^-{\mathtt{true}} \\ C'\times\pow B' \ar[r]^-{g'\times\pow B'} \ar@{^{(}->}[d]_-{m\times\pow B'} & B'\times\pow B' \ar@{^{(}->}[d]^-{k\times\pow B'} \ar@/^1em/[rd]^-{\in_{B'}} \\ C\times\pow B' \ar[r]_-{g\times\pow B'} & B\times\pow B' \ar[r]_-{\prescript{}{k}{E}} & \Omega } \end{xy}
ここで、次の図式が引き戻しになることから、$r$と$r'$はどちらも$\mathtt{true}$の$\in_{B'}\conc(g'\times\pow B')=\in_{C'}\conc(C'\times\pow g')$に沿った引き戻しであることが従う。すなわち$R\simeq R'$であり、この2つは同一視してよい。
\begin{xy} \xymatrix@R=1.5em@C=1.3em@M=9pt{ {R\simeq R'} \ar@{-->}[rr] \ar@{-->}[rd] \ar@{-->}[dd] & & E_{C'} \ar@{^{(}->}[dd]_(.3){e_{C'}}|\hole \ar[rrd] \\ & E_{B'} \ar@{^{(}->}[dd]_(.3){e_{B'}} \ar[rrr] & & & 1 \ar[dd]^-{\mathtt{true}} \\ C'\times\pow B' \ar[rr]_(.7){C'\times\pow g'}|\hole \ar[rd]_(.3){g'\times\pow B'} & & C'\times\pow C' \ar[rrd]^-{\in_{C'}} \\ & B'\times\pow B' \ar[rrr]_-{\in_{B'}} & & & \Omega } \end{xy}
ここから、$\prescript{}{m}{E}\conc(C\times\pow g')$と$\prescript{}{k}{E}\conc g\times\pow B'$はどちらも同じ単射を特徴付ける$C'\times\pow B'\to\Omega$の射であり、$\Omega$の普遍性から両者は同じ射であることがわかる。

任意のモノ射$k\colon B'\hookrightarrow B$について、次の図式が引き戻しとなる。
\begin{xy} \xymatrix{ B' \ar[r]^-{\id} \ar[d]_-{\id} & B' \ar[d]^-{k} \\ B' \ar[r]^-{k} & B } \end{xy}
$\pow\id$と$\exists_\id$はどちらも単位射となるため、ベック-シュバレー条件から$\pow k\conc\exists_k=\exists_\id\conc\pow\id=\id_{\pow B'}$を得る。

$\mu=R\couni L$とおく。このとき、$\mu\conc T\mu=\mu\conc\mu T=R\couni\couni L$が成り立つ。また、
\begin{align} \mu\conc T\eta &= R\couni L\conc RL\eta\\ &= R(\couni L\conc L\eta)\\ &= R(\id_L)\\ &= \id_T\\ \mu\conc\eta T &= R\couni L\conc\eta RL\\ &= (R\couni\conc\eta R)L\\ &= (\id_R)L\\ &= \id_T \end{align}
以上より$(T=RL,\mu=R\couni L,\eta)$はモナドである。

$T$-代数の定義から、$A=(A,\alpha)\in\arbcat^T$に対して$\alpha\conc T\alpha=\alpha\conc\mu_A$であるが、この等式から$\alpha$が$\arbcat^T$の射$\alpha\colon(TA,\mu_A)\to(A,\alpha)$となることが従う。これを$\couni_A=\alpha$で表すと、

\begin{align} \couni_{F^TA}\conc F^T\uni_A &= \couni_{TA}\conc F^T\uni_A\\ &= \mu_A\conc F^T\uni_A\\ &= \id_{F^TA}\\ U^T\couni_{A}\conc \uni_{U^TA} &= \alpha\conc\uni_{U^TA}\\ &= \id_{U^TA} \end{align}
従って、$F^T\dashv U^T$である。

$y\in\mathcal{D}$に対して、
$R\couni_y\colon RLRy\to Ry$は$T$-代数となる。
そこで$Ky=(Ry,R\couni_y)$とすると、この等式は$y$に対して自然であることから$K$が関手として定義できることが従う。

定義から$KL=F^T$と$R=U^TK$も従うことがわかる。

$T$-代数$(A,\alpha\colon TA\to A)$に対して、コイコライザ
\begin{xy} \xymatrix{ FUFA \ar@<.6ex>[r]^-{\couni_{FA}} \ar@<-.6ex>[r]_-{F\alpha} & FA \ar@{-->}[r]^-{q_\alpha} & L_\alpha } \end{xy}
を取る。$T$-代数の射$f\colon (A,\alpha)\to (B,\beta)$に対して、$f\conc\alpha=\beta\conc Tf$と$\couni$の自然性から次の図式が可換になり、コイコライザの普遍性から射$L_\alpha\to L_\beta$をただ1つ得る。
\begin{xy} \xymatrix{ FUFA \ar@<.6ex>[r]^-{\couni_{FA}} \ar@<-.6ex>[r]_-{F\alpha} \ar[d]_-{FUFf} & FA \ar[r]^-{q_\alpha} \ar[d]^-{Ff} & L_\alpha \ar@{-->}[d] \\ FUFB \ar@<.6ex>[r]^-{\couni_{FB}} \ar@<-.6ex>[r]_{F\beta} & FB \ar[r]^-{q_\beta} & L_\beta } \end{xy}
ここから、$L$が関手であることが従う。

$\arbcat^T$の射$g\colon (A,\alpha)\to(UB,U\couni_B)$に対して、次の図式を考える。
\begin{xy} \xymatrix@R=3.5em@C=3.8em{ FUFA \ar@<.6ex>[r]^-{\couni_{FA}} \ar@<-.6ex>[r]_-{F\alpha} \ar[d]_-{FUFg} \ar[rd]_(.4){FUg^\sharp} & FA \ar[r]^-{q_\alpha} \ar[d]_-{Fg} \ar[rd]^-{g^\sharp} & L(A,\alpha) \ar@{-->}[d]^-{f} \\ FUFUB \ar[r]_-{FU\couni_B} & FUB \ar[r]_-{\couni_B} & B } \end{xy}
ただし$g^\sharp=\couni_B\conc Fg\colon FA\to B$である。このとき、
\begin{align} g^\sharp\conc\couni_{FA} &= \couni_B\conc FUg^\sharp\\ &= \couni_B\conc FU\couni_B\conc FUFg\\ &= \couni_B\conc Fg\conc F\alpha\\ &= g^\sharp\conc F\alpha \end{align}
が成り立つため、コイコライザの普遍性から$g^\sharp=f\conc q_\alpha$を満たす$f$の存在が言える。

$f\colon L(A,\alpha)\to B$は$g^\sharp\colon FA\to B$と1対1対応し、また$g^\sharp$と$g\colon A\to UB$は随伴より定まる1対1対応なので、これにより集合の同型$\mathcal{A}(L(A,\alpha),B)\simeq \arbcat^T((A,\alpha),KB)$が言えて、構成から明らかにこの同型は$A,B$について自然。

以上より$L\dashv K$である。

$\mathcal{A}$が全てのコイコライザを持つため、比較関手$K$は左随伴を持つ (補題9)。随伴の単位を$\uni'\colon\Id_{\arbcat^T}\To KL$とすると、これは補題9で示した方法で恒等射に移るので、$\arbcat$上で次の図式が可換になる。
\begin{xy} \xymatrix@R=3.5em@C=3.8em{ & A \ar[d]_-{\uni_A} \ar[rd]^-{U^T\uni'_A} \\ UFUFA \ar@<.6ex>[r]^-{U\couni_{FA}} \ar@<-.6ex>[r]_-{UF\alpha} & UFA \ar[r]^-{Uq_\alpha} \ar[rd]_(.4){U((U^T\uni'_A)^\sharp)} & UL(A,\alpha) \ar@{=}[d]^-{\id} \\ & & UL(A,\alpha) } \end{xy}
ここで、$g^\sharp=\couni_B\conc Fg\colon FA\to B$に対して$g=U(g^\sharp)\conc\uni_A$であることを用いている。

いま、$Uq_\alpha=U^T\uni'_A\conc \alpha$であることが、
\begin{align} U^T\uni'_A\conc\alpha &= Uq_\alpha\conc\uni_A\conc\alpha\\ &= Uq_\alpha\conc T\alpha\conc\uni_{TA}\\ &= Uq_\alpha\conc\mu_A\conc\uni_{TA}\\ &= Uq_\alpha \end{align}
から従う (次の図式も参照)。
\begin{xy} \xymatrix@C=4.0em@R=3.5em{ UFA \ar[r]^-{\alpha} \ar[d]_-{\uni_{UFA}} & A \ar[d]^-{\uni_A} \ar[rd]^(.72){U^T\uni'_A} \\ UFUFA \ar@<.6ex>[r]^-{U\couni_{FA}=\mu_A} \ar@<-.6ex>[r]_-{UF\alpha=T\alpha} & UFA \ar[r]^-{Uq_\alpha} & UL(A,\alpha) } \end{xy}

$U$はコイコライザを保存するため、$UL(A,\alpha)$は$(U\couni_{FA},UF\alpha)$のコイコライザである。従って、$\alpha\conc\uni_A=\id_A$とコイコライザの普遍性から、$U^T\uni'_A$は同型となる。$q_\alpha$は$T$-代数の射であったので、$U^Tq_\alpha$の同型から$q_\alpha$の同型が従う。

補題9, 10より、比較関手$K\colon \mathcal{A}\to\arbcat^T$は左随伴を持ち、随伴の単位$\uni'\colon\Id_{\arbcat^T}\Rightarrow KL$は同型となる。

随伴の余単位$\couni'\colon LK\To\Id_{\mathcal{A}}$について、各コンポーネント$\couni'_X\colon LKX\to X$は次の図式のように定まる。
\begin{xy} \xymatrix@C=3.8em@R=3.5em{ FUFUX \ar@<.6ex>[r]^-{\couni_{FUX}} \ar@<-.6ex>[r]_-{FU\couni_X} & FUX \ar[r]^-{q_{U\couni_X}} \ar[rd]_-{\couni_X} & L(UX,U\couni_X) \ar@{-->}[d]^-{\couni'_X} \\ & & X } \end{xy}

補題10の証明で示したように、$T$-代数を構成する$\alpha\colon TA\to A$は$\arbcat$で$(U\couni_{FA},UF\alpha)$のコイコライザである。これを$T$-代数$U\couni_X\colon TUX\to UX$に適用すると、$U\couni_X$は$(U\couni_{FUX},UFU\couni_X)$のコイコライザであることを得る。

仮定より$U$はコイコライザを反映するので、$\couni_X$は$(\couni_{FUX},FU\couni_X)$のコイコライザである。以上より$\couni'_X$が同型であることが従う。

任意の$T$-代数$(A,\alpha\colon TA\to A)$に対して、$\mathcal{D}$における射の組$\couni_{FA},F\alpha\colon FUFA\to FA$は右逆射$F\eta_A\colon FA\to FUFA$を持つ。従って、この射の組はコイコライザを持ち、以降補題9に従って左随伴$L\colon\arbcat^T\to\mathcal{D}$を得る。$L$の単位が同型であることは補題10と同様に従う。

補題11で示した通り、$U\couni_X$は$(U\couni_{FUX},UFU\couni_X)$のコイコライザである。ここで$G$がコイコライザを保存するので、$U\couni'_X$が同型であることがわかる。仮定から$G$は同型を反映するため、$\couni'_X$の同型が従う。

関手$F\colon\arbcat\to\mathcal{D}$は忠実とする。

1. $Ff$が$\mathcal{D}$においてモニックであるとする。このとき、$f\conc h=f\conc h'$ならば$Ff\conc Fh=Ff\conc Ff'$から$Fh=Fh'$。さらに$F$が忠実であるため、$h=h'$が従う。
2. $Ff$が$\mathcal{D}$においてエピであるとする。このとき、$h\conc f=h'\conc f$から$Fh\conc Ff=Fh'\conc Ff$より$Fh=Fh'$が成り立つ。さらに$F$が忠実であるため、$h=h'$が従う。

モニックかつエピであれば同型であることを示せばよい (逆は明らかである)。
いま、$\envcat$の射$f\colon A\to B$がモニックかつエピである。このとき、次の図式が引き戻しとなる。
\begin{xy} \xymatrix@M=9pt{ A \ar[r] \ar@{^{(}->}[d]_-{f} & 1 \ar[d]^-{\mathtt{true}} \\ B \ar[r]_-{\chi_f} & \Omega } \end{xy}
さらに、終対象への射は対象ごとにただ1つであるため、射$\mathtt{true}_B\colon B\to 1\xrightarrow{\mathtt{true}}\Omega$に対して$\chi_f\conc f=\mathtt{true}_B\conc f$が成り立つ。
このとき、引き戻し図式の普遍性から$f$は$\chi_f$と$\mathtt{true}_B$のイコライザであることが従う。

他方、$f$はエピであったため、$\chi_f\conc f=\mathtt{true}_B\conc f$より$\chi_f=\mathtt{true}$である。同じ射の組のイコライザは同型射となるため、$f$は同型射である。

$\envcat$の射$f\colon B\to A$に対して、$\langle \id,f\rangle\colon B\to B\times A$はモニックである。ここで、以下の可換図式を考える。
\begin{xy} \xymatrix@M=9pt{ B \ar[r]^-{f} \ar@{^{(}->}[d]_-{\langle\id,f\rangle} & A \ar[r] \ar@{^{(}->}[d]_-{\Delta_A} & 1 \ar[d]^-{\mathtt{true}} \\ B\times A \ar[r]_-{f\times\id} & A\times A \ar[r]_-{\delta_A} & \Omega } \end{xy}
ここで$\Delta_A=\langle\id,\id\rangle$は対角射、$\delta_A$は$\Delta_A$を引き戻しにする射である。部分対象分類子の性質から、$\langle\id,f\rangle$を引き戻しにする射は$\delta_A\conc f\times\id$であり、図式はすべて引き戻しになる。

冪対象の性質から$\delta_A$が定める射を$\{\_\}_A\colon A\to\pow A$で表す。このとき、次の図式が可換となる。
\begin{xy} \xymatrix{ B\times A \ar[r]^-{f\times\id} \ar@{-->}[d]_-{\id\times\{\_\}_A} & A\times A \ar@{-->}[d]^-{\id\times\{\_\}_A} \ar `[r] [rdd]^-{\delta_A} & \\ B\times\pow A \ar[r]^-{f\times\id} \ar[d]_-{\id\times\pow f} & A\times\pow A \ar[rd]^-{\in_A} \\ B\times\pow B \ar[rr]_-{\in_B} & & \Omega } \end{xy}
従って、$f,f'\colon B\to A$が$\pow f=\pow f'$であるとき、$\delta_A\conc(f\times\id)=\delta_A\conc(f'\times\id)$であり、これに沿って$\mathtt{true}$を引き戻すことで最終的に$f=f'$を得る。

以上より$\pow_{A,B}\colon\envcat(B,A)\to\envcat(\pow A,\pow B)$が任意の$A,B$について単射であるため、$\pow$は忠実関手である。

冪対象の性質から、$\envcat(A,\mathcal{P}B)\simeq\envcat(A\times B,\Omega)\simeq\envcat(B,\mathcal{P}A)\simeq\envcat^\op(\mathcal{P}A,B)$である。従って、$\mathcal{P}^\op\colon\envcat\to\envcat^\op$は$\mathcal{P}$の左随伴である。

ベックの定理によって証明する。まず、$\envcat$は二項積と引き戻しを持つため、次の引き戻しによって射の組$f,g\colon A\to B$のイコライザ$q\colon Q\to A$を得る。
\begin{xy} \xymatrix{ Q \ar@{-->}[r]^-{q} \ar@{-->}[d] & A \ar[d]^-{\langle f,g\rangle} \\ B \ar[r]_-{\Delta_B} & B\times B } \end{xy}
$\envcat$のイコライザは$\envcat^\op$のコイコライザであるため、$\envcat^\op$は全てのコイコライザを持つ。

$\envcat^\op$におけるコイコライザの図式
\begin{xy} \xymatrix{ A \ar@<.6ex>[r]^-{f^\op} \ar@<-.6ex>[r]_-{g^\op} & B \ar[r]^-{q^\op} & Q } \end{xy}
であって、$f^\op\conc i^\op=g^\op\conc i^\op=\id_B$を満たすような$i^\op\colon B\to A$を備えているものについて考える。これは$\envcat$において、$i\conc f=i\conc g=\id_B$を満たす$i\colon A\to B$を備えたイコライザの図式となる。

次の図式について、
\begin{xy} \xymatrix{ Q \ar[r]^-{q} \ar[d]_-{q} & B \ar[d]^-{f} \\ B \ar[r]_-{g} & A } \end{xy}
$f\conc h=g\conc h'$を満たす射$h,h'\colon X\to B$について、$i$を後ろに合成することで$h=h'$がわかり、従って$q$がイコライザであることから$h=h'=q\conc k$を満たす$k\colon X\to Q$がただ1つ存在する。以上のことから上の図式は引き戻しである。
$q$が$f$と$g$の引き戻しでもあることから、$q$がモニックであることが従う。

ベック-シュバレー条件より、次の図式が可換となる。
\begin{xy} \xymatrix{ \pow B \ar[r]^-{\pow q} \ar[d]_-{\exists_f} & \pow Q \ar[d]^-{\exists_q} \\ \pow A \ar[r]_-{\pow g} & \pow B } \end{xy}
また、ベック-シュバレー条件の系から、$\pow q\conc\exists_q=\id_{\pow Q}$と$\pow f\conc\exists_f=\id_{\pow B}$がわかる。

従って、$\pow f,\pow g,\pow q$は分裂フォーク (split fork) と呼ばれる図式を構成する。
このとき、$h\conc\pow f=h\conc\pow g$を満たすような$h\colon\pow B\to X$に対して、$h\conc\exists_q\conc\pow q=h$が成り立つ。
\begin{xy} \xymatrix{ \pow A \ar@<.6ex>[rd]^-{\pow f} \ar@<-.6ex>[rd]_-{\pow g} \\ & \pow B \ar[rd]^-{\pow q} \ar[ld]_-{\exists_f} \ar@{=}[d] \\ \pow A \ar[rd]_-{\pow g} \ar[r]^-{\pow f} & \pow B \ar[rd]|\hole ^(.7){h} & \pow Q \ar[ld]_(.3){\exists_q} \\ & \pow B \ar[r]_-{h} & X } \end{xy}
また、$k\conc\pow q=k'\conc\pow q=h$を満たす$k,k'\colon\pow Q\to X$は、$\exists_q$を前から合成することで$k=k'$を得る。
以上より$\pow q$は$(\pow f,\pow g)$のコイコライザであり、すなわち$\pow$はコイコライザを保存する。

最後に、補題15と16から、$\pow$はモニック射とエピ射を反映するが、それはすなわち同型も反映することがわかる。以上より、ベックの定理によって$\pow$がモナディックであることが従う。

$\arbcat$はすべての有限積とイコライザを持つ圏、$\mathcal{J}$は有限圏とする。
このとき、関手$F\colon\mathcal{J}\to\arbcat$に対して、有限積$\prod_{j\in\mathcal{J}}Fj$と$\prod_{d\colon i\to j}Fj$が取れるため、次の図式における$\pi,\tau$とそのイコライザ$(Q,q)$を考える。
\begin{xy} \xymatrix@R=3.5ex{ & Fj \ar@{=}[r] & Fj \\ Q \ar@{-->}[r]^-{q} & \prod_{j\in\mathcal{J}}Fj \ar@<.6ex>[r]^-{\pi} \ar@<-.6ex>[r]_-{\tau} \ar[u] \ar[d] & \prod_{d\colon i\to j}Fj \ar[u] \ar[d] \\ & Fi \ar[r]_-{F(d\colon i\to j)} & Fj } \end{xy}
ただし$\pi$とは積の性質を用いて各$Fj$への射影から導かれる射、$\tau$は各$Fd\colon Fi\to Fj$から導かれる射である。
このとき$Q\xrightarrow{q}\prod_{j\in\mathcal{J}}Fj\to Fj$によって$Q$から$F$への錐が構成でき、さらに任意の$F$への$X$からの錐は、対応する$k\colon X\to\prod_{j\in\mathcal{J}}Fj$について$\pi\conc k=\tau\conc k$が成り立つため、$k=q\conc k'$を満たす$k'\colon X\to Q$がただ1つ存在する。従って$Q$は$F$の極限である。

$\mathcal{J}$と$F$は任意に選べたため、$\arbcat$は任意の有限極限を持つ。

初等モナド$\envcat$について、終対象は0項積と思うことができるので、二項積と併せて$\envcat$は全ての有限積を持つ。従って$\envcat$は有限完備である。

$x\in\mathcal{J}$に対して$Dx=(D_x,d_x\colon TD_x\to D_x)$とおく。$U^T\conc D$の極限錐を$\{\tau_x\colon L\to D_x\}_{x\in\mathcal{J}}$で表すと、$d_x\conc T\tau_x\colon TL\to D_x$が$TL$から$U^T\conc D$への錐となるため、普遍性から$\lambda\colon TL\to L$が存在して$d_x\conc T\tau_x=\tau_x\conc\lambda$である。同様に$L$が極限であることから$\lambda\conc\uni_L=\id$と$\lambda\conc T\lambda=\lambda\conc\mu_L$が従うため、$(L,\lambda)$は$T$-代数である。

$d_x\conc T\tau_x=\tau_x\conc\lambda$であったことから、各$\tau_x$は$T$-代数の射$\tau_x\colon(L,\lambda)\to Dx$である。$\tau_x$は$\arbcat$で極限錐を構成していたので、$\arbcat^T$上で$\tau_x$がなす錐も極限錐となる。

$\mathcal{J}$を有限圏とする。初等トポスは有限完備であるため、任意の関手$F\colon\mathcal{J}^\op\to\envcat$に対して$F$の極限が存在する。

$T=\pow\pow^\op$とすると、これは$\envcat$上のモナドとなる。定理19より忘却関手$U^T\colon\envcat^T\to\envcat$は極限を創出するため、$\envcat^T$においても任意の$F\colon\mathcal{J}^\op\to\envcat^T$に対して極限が存在する。

冪関手$\pow$はモナディックであったため、$\envcat^T$と$\envcat^\op$は圏同値である。すなわち$\envcat^\op$も任意の$F\colon\mathcal{J}^\op\to\envcat^\op$に対する極限を持つ。

$\mathcal{J}^\op\to\envcat^\op$に対する極限とは$\mathcal{J}\to\envcat$に対する余極限と同じことであるため、以上より$\envcat$は有限余完備である。