自己紹介及び三方行列について
自己紹介
初めまして。つめもんと申します。高専2年生(執筆当時)で数学が好きです。好きですが、学校で習ったことしかできないので、突出した知識はありません。
自己紹介はこれぐらいにしておいて、三方行列についてLaTeXの練習がてら書いていく。あまり利用方法について考えられていない、思いついていないので、何か案がある方は是非コメントで教えていただけると嬉しいです。
本編 三方行列について
三方行列とは？
定義
三方行列は数や文字、式を直方体状に配列したもの。アルファベット大文字の上にブレーヴェを付けたもので表す。例：$\breve{A},\breve{B}$
行列は矩形状に配列したもの。三方行列は直方体状に配列したもの。三次元になっている。
三方行列に関する用語の定義
横に並んだ一面を行、縦に並んだ一面を列、そして奥行き方向の一面を層とする。
行は縦に積まれた本のような、列は本棚に並べられた本のような感じ。層は二重窓のイメージ。
書き並べられた要素のこと。$\breve{A}$の$ 第i$行目、$j$列目、$k$層目の成分を$\breve{a}_{ijk}$と表し、$\breve{A}$の$(i,j,k)$成分という。
三方行列に含まれる行の数が$l$、列の数が$m$、層の数が$n$であるとき、$l$×$m$×$n$三方行列という。
$l$×$m$×$n$三方行列$\breve{A}$と$i$×$j$×$k$三方行列$\breve{B}$が存在し、$l=i$かつ$m=j$かつ$n=k$であるとき、$\breve{A}$と$\breve{B}$は同じ型であるという。
一つの行を持つ三方行列を行行列とする。行行列は$1$×$m$×$n$三方行列である。
また、一つの列を持つ三方行列を列行列、一つの層を持つ三方行列を層行列とし、それぞれ$l$×$1$×$n$三方行列、$l$×$m$×$1$三方行列である。
一つの列、一つの層を持つ三方行列を行ベクトルとする。行ベクトルは$l$×$1$×$1$三方行列である。
また、一つの行、一つの層を持つ三方行列を列ベクトル、一つの行、一つの列を持つ三方行列を層ベクトルとし、それぞれ$1$×$m$×$1$三方行列、$1$×$1$×$n$三方行列である。
行の数、列の数、層の数すべてが等しい三方行列を立方三方行列とする。
すべての成分が$0$である三方行列を零三方行列とする。
演算(和と差とスカラー倍)
$({\breve{A}+\breve{B}})_{ijk}=\breve{a}_{ijk}+\breve{b}_{ijk}$
同じ型の二つの三方行列${\breve{A},\breve{B}}$の和の$(i,j,k)$成分は$\breve{A}$の$(i,j,k)$成分と$\breve{B}$の$(i,j,k)$成分の和。
$({\breve{A}-\breve{B}})_{ijk}=\breve{a}_{ijk}-\breve{b}_{ijk}$
同じ型の二つの三方行列${\breve{A},\breve{B}}$の差の$(i,j,k)$成分は$\breve{A}$の$(i,j,k)$成分と$\breve{B}$の$(i,j,k)$成分の差である。
また、二つの三方行列が同じ型でないと和と差は定義されない。
任意の実数$n$を用いる。
$(n\breve{A})_{ijk}=(\breve{A}n)_{ijk}=n\breve{a}_{ijk}$
三方行列$\breve{A}$に実数$n$をかけたとき、その積$n\breve{A}$の$(i,j,k)$成分は$\breve{A}$の$(i,j,k)$成分と$n$の積である。
最後に
三方行列に関する諸々の定義をしました。三方行列同士の積については、三方行列の主な利用方法がわかってから考えたいなと思っています。また、不備や改善点があれば是非教えて欲しいです。
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