3月某日、国語の時間がありました当然テストは終わっており、二年生の範囲に進んでいましたそこで思いました暇 す ぎ る国語が嫌いな私は暇で暇で仕方ありませんでしたあっそうだ ピッコリーンフェルマーの最終定理証明しようそれだけです数学初心者なので間違いあったら優しく指摘して頂けると幸いです
今回はn=4の倍数にないと余白が足りないのでn=4の倍数のみということにさせてください
x4+y4=z4(x,y,z≥1)
①②x4=z4−y4=(z2+y2)(z2−y2)=(z2+y2)(z+y)(z−y)={(z2(z+y)+y2(z+y))(z−y)⋯①(z(z2+y2)+y(z2+y2))(z−y)⋯②ここで①から②を引きます0=z2(z+y)+y2(z+y)−z(z2+y2)−y(z2+y2)=(z2+y2)(z+y)−(z+y)(z2+y2)=(z2+y2)2−(z+y)(z+y)=(z4+2z2y2+y4)(−(z+y)2)=(z4+2z2y2+y4)(−(z2+2zy+y2))=(z4+2z2y2+y4)(−z2−2zy−y2)
ここで左右どちらかが0になる必要がありますがx,y,z全てを1以上としているためどちらも0にはならないのでよってn=4の倍数の時、xn+yn=zn(x,y,z≥1)を満たす(x,y,z)の組は存在しません
理由は簡単で、序盤で2度和と差の積に因数分解しますが、その時に22=4の倍数でないと2回因数分解できないからです
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