フェルマーの最終定理の証明(n=4の倍数)
経緯
3月某日、国語の時間がありました
当然テストは終わっており、二年生の範囲に進んでいました
そこで思いました
暇 す ぎ る
国語が嫌いな私は暇で暇で仕方ありませんでした
あっそうだ ﾋﾟｯｺﾘｰﾝ
フェルマーの最終定理証明しよう
それだけです
数学初心者なので間違いあったら優しく指摘して頂けると幸いです
証明
今回は$n=4$の倍数にないと余白が足りないので$n=4$の倍数のみということにさせてください
$x^{4}$+$y^{4}=z^{4}$($x,y,z \geq1 $)
\begin{eqnarray}
x^{4}
&=& z^{4}-y^{4} \\
&=& (z^2+y^2)(z^2-y^2) \\
&=& (z^2+y^2)(z+y)(z-y) \\
&=&
\left\{
\begin{array}{1}
(z^2(z+y)+y^2(z+y))(z-y)\cdots① \\
(z(z^2+y^2)+y(z^2+y^2))(z-y)\cdots②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
ここで①から②を引きます
\begin{eqnarray}
0
&=&z^2(z+y)+y^2(z+y)-z(z^2+y^2)-y(z^2+y^2) \\
&=& (z^2+y^2)(z+y)-(z+y)(z^2+y^2) \\
&=& (z^2+y^2)^2-(z+y)(z+y) \\
&=& (z^4+2z^2y^2+y^4)(-(z+y)^2) \\
&=& (z^4+2z^2y^2+y^4)(-(z^2+2zy+y^2)) \\
&=& (z^4+2z^2y^2+y^4)(-z^2-2zy-y^2)
\end{eqnarray}
ここで左右どちらかが0になる必要がありますが$x,y,z$全てを1以上としているためどちらも0にはならないので
よって$n=4$の倍数の時、$x^n+y^n=z^n(x,y,z \geq1 )$を満たす$(x,y,z)$の組は存在しません
何故4の倍数なのか
理由は簡単で、序盤で2度和と差の積に因数分解しますが、その時に$2^2=4$の倍数でないと2回因数分解できないからです
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