JMO2024本選1~3番問題&解答

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JMO2024本選問1~3の問題と僕なりの解答を載せます　間違えてたらごめんなさい
問題パートと解説パートに分かれてます

問題

　 $n$ を $2$ 以上の整数とする． $n$ 個の実数の組 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ であって， $a_{1} - 2 a_{2}, a_{2} - 2 a_{3}, \dots, a_{n - 1} - 2 a_{n}, a_{n} - 2 a_{1}$ が $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ の並び替えであるようなものをすべて求めよ．
　ただし， $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 自身も $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ の並び替えである．

　正の整数に対して定義され正の整数値をとる関数 $f$ であって，任意の正の整数 $m, n$ に対して
$lcm (m, f (m + f (n))) = lcm (f (m), f (m) + n)$
をみたすものをすべて求めよ．
　ただし，正の整数 $x, y$ に対し， $x$ と $y$ の最小公倍数を $lcm (x, y)$ で表す．

　 $x y$ 平面において， $x$ 座標と $y$ 座標が $1$ 以上 $2000$ 以下の整数である点を良い点とよぶ．また，以下の条件をすべてみたす $4$ 点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3}), D (x_{4}, y_{4})$ について，折れ線 $A B C D$ をZ型折れ線とよぶ．

$A, B, C, D$ はすべて良い点である．
$x_{1} < x_{2}, y_{1} = y_{2}$
$x_{2} > x_{3}, y_{2} - x_{2} = y_{3} - x_{3}$
$x_{3} < x_{4}, y_{3} = y_{4}$
　 $n$ 個の $Z$ 型折れ線 $Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}$ が以下の条件をみたすとき，正の整数 $n$ としてありうる最小の値を求めよ．

　　　どの良い点 $P$ についても， $1$ 以上 $n$ 以下の整数 $i$ が存在して， $P$ が $Z_{i}$ 上にある．

　ただし，折れ線 $A B C D$ とは，線分 $A B, B C, C D$ (いずれも端点を含む)を合わせた図形のことである．

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↓　解　答　で　す (　 $1$ 　か　ら　順　番　に　)
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解答

問1

　求める答えは $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = (0, 0, \dots, 0)$ のみである．
　 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = (0, 0, \dots, 0)$ は条件をみたすから， $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) \neq (0, 0, \dots, 0)$ かつ条件をみたすものが存在しないことを示す．
　以下 $i \equiv j (mod n)$ をみたす整数 $i, j$ に対し $a_{i} = a_{j}$ とする．

$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 0$

証明:条件より $a_{1} - 2 a_{2}, a_{2} - 2 a_{3}, \dots, a_{n - 1} - 2 a_{n}, a_{n} - 2 a_{1}$ と $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ の総和は等しい．
　また $\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - 2 a_{i + 1}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} - 2 \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = - \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ より
　 $- \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ ,　 $∴ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 0$ 　　　　　 $◻$

　 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ のうち最大値，最小値をとるもののうち一つをそれぞれ $a_{M}, a_{m}$ とすると，補題 $1$ と $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) \neq (0, 0, \dots, 0)$ から $a_{m} < 0 < a_{M}$ が分かる．
　 $a_{1} - 2 a_{2}, a_{2} - 2 a_{3}, \dots, a_{n - 1} - 2 a_{n}, a_{n} - 2 a_{1}$ はそれぞれ $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ のいずれかに等しいから
${\begin{cases} a_{m} \leq a_{M - 1} - 2 a_{M} \\ a_{m - 1} - 2 a_{m} \leq a_{M} \end{cases}$
が成り立つ．
対称性より(←飛躍しすぎな気もする...) $| a_{m} | \leq | a_{M} |$ としてよい．このとき
$a_{M - 1} - 2 a_{M} \geq a_{m} \geq - a_{M} (∵ a_{m} < 0 < a_{M})$
$∴ a_{M - 1} \geq a_{M}$
　仮定より $a_{M - 1} \leq a_{M}$ だから， $a_{M - 1} = a_{M}$ となり，帰納的に $M$ 以下のすべての整数 $i$ に対して $a_{i} = a_{M}$ となるが，
$a_{M} = a_{- n + m} = a_{m}$ よりこれは $a_{m} < 0 < a_{M}$ に矛盾．よって答えは $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = (0, 0, \dots, 0)$ のみ．
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↓　問　 $2$
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問2

　求める答えは $f (n) = n$ のみである． $f (n) = n$ は条件を満たす．

$m | f (m)$

証明:任意の $m$ について， $n = (k - 1) f (m)$ ( $k$ は $m$ と互いに素な $2$ 以上の整数)を取れるので，これを代入すると
(右辺) $= lcm (f (m), k f (m)) = k f (m)$
よって $lcm (m, f (m + f (n))) = k f (m)$ より， $m | k f (m)$
$gcd (k, m) = 1$ より $m | f (m)$ 　　　　 $◻$

$n = (a - 1) f (m)$ (aは $2$ 以上の整数)とすると，補題 $2$ より $m | n$ ，よって $m | f (m + f (n))$ だから
(左辺) $= f (m + f (n))$
(右辺) $= a f (m)$
よって $f (m + f ((a - 1) f (m))) = a f (m)$
左辺は $m + f ((a - 1) f (m))$ の倍数より $m + f ((a - 1) f (m)) | a f (m) \dots ☆$

$f (1) = 1$

証明:☆に $m = 1, a = 2$ を代入して $1 + f (f (1)) | 2 f (1)$
これと $1 + f (f (1)) \geq 1 + f (1)$ より $1 + f (f (1)) = 2 f (1)$
$∴ 2 f (1) - f (f (1)) = 1$
左辺は $f (1)$ の倍数より $f (1)$ は $1$ の約数．よって $f (1) = 1$ 　　　　　 $◻$

補題 $3$ より☆に $m = 1$ を代入して $1 + f (a - 1) | a$
$1 + f (a - 1) \geq 1 + a - 1 = a$ より $1 + f (a - 1) = a$
$a \geq 2$ より $n = a - 1$ とすれば $f (n) = n$ が答え．
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↓　問　 $3$
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問 $3$

　最小値は $n = 1333$ である．まず $n = 1333$ のときの構成を示す．
$1$ 以上 $1333$ 以下の整数 $i$ に対し $Z_{i}$ の端点をそれぞれ $A_{i}, B_{i}, C_{i}, D_{i}$ とする(問題文の定義と同じ順番とする)と
$A_{1} (1, 2000), B_{1} (2000, 2000), C_{1} (1, 1), D_{1} (2000, 1)$
$1 < i \leq 667$ のとき $A_{i} (1, 2001 - i), B_{i} (2000, 2001 - i), C_{i} (665 + 2 i, 666 + i), D_{i} (2000, 666 + i)$
$668 \leq i \leq 1333$ のとき
$A_{i} (1, 2001 - i), B_{i} (2668 - 2 i, 2001 - i), C_{i} (1, - 666 + i), D_{i} (2000, - 666 + i)$
とすれば条件を満たす．
　次に $n \geq 1333$ を示す．
$x$ 座標が $1$ または $2000$ ， $y$ 座標が $2$ 以上 $1999$ 以下の整数である点を優れた点とよぶ．このとき，各 $Z$ 型折れ線は優れた点を高々 $3$ つしか通らないから，優れた点上すべてに $Z$ 型折れ線が引かれているために $n$ は少なくとも $\frac{2 \times 1998}{3} = 1332$ 以上である．
　 $n = 1332$ のとき， $Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}$ すべてが優れた点を $3$ つ通るが，このとき座標 $(1, 1)$ を通る $Z$ 型折れ線は存在しないから不適．
　よって $n \geq 1333$ が示された．　　　　　 $◻$