JMO2024本選1~3番問題&解答

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JMO2024本選問1~3の問題と僕なりの解答を載せます　間違えてたらごめんなさい
問題パートと解説パートに分かれてます

問題

　$n$を$2$以上の整数とする．$n$個の実数の組$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$であって，$a_1-2a_2,a_2-2a_3,\cdots,a_{n-1}-2a_n,a_n-2a_1$が$a_1,a_2,\cdots,a_n$の並び替えであるようなものをすべて求めよ．
　ただし，$a_1,a_2,\cdots,a_n$自身も$a_1,a_2,\cdots,a_n$の並び替えである．

　正の整数に対して定義され正の整数値をとる関数$f$であって，任意の正の整数$m,n$に対して
$$ \text{lcm}(m,f(m+f(n)))=\text{lcm}(f(m),f(m)+n)$$
をみたすものをすべて求めよ．
　ただし，正の整数$x,y$に対し，$x$と$y$の最小公倍数を$\text{lcm}(x,y)$で表す．

　$xy$平面において，$x$座標と$y$座標が$1$以上$2000$以下の整数である点を良い点とよぶ．また，以下の条件をすべてみたす$4$点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$について，折れ線$ABCD$をZ型折れ線とよぶ．

$A,B,C,D$はすべて良い点である．
$x_1\lt x_2,y_1=y_2$
$x_2\gt x_3,y_2-x_2=y_3-x_3$
$x_3\lt x_4,y_3=y_4$
　$n$個の$Z$型折れ線$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$が以下の条件をみたすとき，正の整数$n$としてありうる最小の値を求めよ．

　　　どの良い点$P$についても，$1$以上$n$以下の整数$i$が存在して，$P$が$Z_i$上にある．

　ただし，折れ線$ABCD$とは，線分$AB,BC,CD$(いずれも端点を含む)を合わせた図形のことである．

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↓　解　答　で　す (　$1$　か　ら　順　番　に　)
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解答

問1

　求める答えは$(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(0,0,\cdots,0)$のみである．
　$(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(0,0,\cdots,0)$は条件をみたすから，$(a_1,a_2,\cdots,a_n)\neq(0,0,\cdots,0)$かつ条件をみたすものが存在しないことを示す．
　以下$i\equiv j(\text{mod }n)$をみたす整数$i,j$に対し$a_i=a_j$とする．

$$\displaystyle\sum_{i = 1}^na_i=0$$

証明:条件より$a_1-2a_2,a_2-2a_3,\cdots,a_{n-1}-2a_n,a_n-2a_1$と$a_1,a_2,\cdots,a_n$の総和は等しい．
　また$\displaystyle\sum_{i=1}^n(a_i-2a_{i+1})=\sum_{i=1}^na_i-2\sum_{i=1}^na_i=-\sum_{i=1}^na_i$より
　$-\displaystyle\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^na_i$,　$\therefore\displaystyle\sum_{i=1}^na_i=0$　　　　　$\square$

　$a_1,a_2,\cdots,a_n$のうち最大値，最小値をとるもののうち一つをそれぞれ$a_M,a_m$とすると，補題$1$と$(a_1,a_2,\cdots,a_n)\neq(0,0,\cdots,0)$から$a_m\lt 0\lt a_M$が分かる．
　$a_1-2a_2,a_2-2a_3,\cdots,a_{n-1}-2a_n,a_n-2a_1$はそれぞれ$a_1,a_2,\cdots,a_n$のいずれかに等しいから
\begin{cases} a_m\leq a_{M-1}-2a_M\\ a_{m-1}-2a_m\leq a_M \end{cases}
が成り立つ．
対称性より(←飛躍しすぎな気もする...)$|a_m|\leq|a_M|$としてよい．このとき
$a_{M-1}-2a_M\geq a_m\geq -a_M(\because a_m\lt0\lt a_M)$
$\therefore a_{M-1}\geq a_M$
　仮定より$a_{M-1}\leq a_M$だから，$a_{M-1}=a_M$となり，帰納的に$M$以下のすべての整数$i$に対して$a_i=a_M$となるが，
$a_M=a_{-n+m}=a_m$よりこれは$a_m\lt0\lt a_M$に矛盾．よって答えは$(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(0,0,\cdots,0)$のみ．
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↓　問　$2$
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問2

　求める答えは$f(n)=n$のみである．$f(n)=n$は条件を満たす．

$$ m|f(m)$$

証明:任意の$m$について，$n=(k-1)f(m)$($k$は$m$と互いに素な$2$以上の整数)を取れるので，これを代入すると
(右辺)$=\text{lcm}(f(m),kf(m))=kf(m)$
よって$\text{lcm}(m,f(m+f(n)))=kf(m)$より，$m|kf(m)$
$\gcd(k,m)=1$より$m|f(m)$　　　　$\square$

$n=(a-1)f(m)$(aは$2$以上の整数)とすると，補題$2$より$m|n$，よって$m|f(m+f(n))$だから
(左辺)$=f(m+f(n))$
(右辺)$=af(m)$
よって$f(m+f((a-1)f(m)))=af(m)$
左辺は$m+f((a-1)f(m))$の倍数より$m+f((a-1)f(m))|af(m)\cdots ☆$

$$ f(1)=1$$

証明:☆に$m=1,a=2$を代入して$1+f(f(1))|2f(1)$
これと$1+f(f(1))\geq 1+f(1)$より$1+f(f(1))=2f(1)$
$\therefore 2f(1)-f(f(1))=1$
左辺は$f(1)$の倍数より$f(1)$は$1$の約数．よって$f(1)=1$　　　　　$\square$

補題$3$より☆に$m=1$を代入して$1+f(a-1)|a$
$1+f(a-1)\geq 1+a-1=a$より$1+f(a-1)=a$
$a\geq 2$より$n=a-1$とすれば$f(n)=n$が答え．
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↓　問　$3$
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問$3$

　最小値は$n=1333$である．まず$n=1333$のときの構成を示す．
$1$以上$1333$以下の整数$i$に対し$Z_i$の端点をそれぞれ$A_i,B_i,C_i,D_i$とする(問題文の定義と同じ順番とする)と
$A_1(1,2000),B_1(2000,2000),C_1(1,1),D_1(2000,1)$
$1\lt i\leq667$のとき$A_i(1,2001-i),B_i(2000,2001-i),C_i(665+2i,666+i),D_i(2000,666+i)$
$668\leq i\leq1333$のとき
$A_i(1,2001-i),B_i(2668-2i,2001-i),C_i(1,-666+i),D_i(2000,-666+i)$
とすれば条件を満たす．
　次に$n\geq1333$を示す．
$x$座標が$1$または$2000$，$y$座標が$2$以上$1999$以下の整数である点を優れた点とよぶ．このとき，各$Z$型折れ線は優れた点を高々$3$つしか通らないから，優れた点上すべてに$Z$型折れ線が引かれているために$n$は少なくとも$\dfrac{2\times1998}{3}=1332$以上である．
　$n=1332$のとき，$Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$すべてが優れた点を$3$つ通るが，このとき座標$(1,1)$を通る$Z$型折れ線は存在しないから不適．
　よって$n\geq 1333$が示された．　　　　　$\square$