ヴィーフェリッヒ・ケンプナーの定理（9立方数和定理）

$m_1,m_2,m_3\in \mathbb{Z}_{\geq 0} ; m=m_1^2+m_2^2+m_3^2$をとると、仮定（$m \leq A^2$）より、$i=1,2,3$において
\begin{align} 0 \leq m_i \leq \sqrt{m} \leq A \end{align}
が成り立つ。すると、
\begin{align} &6A(A^2+m)\\ &=6A(A^2+m_1^2+m_2^2+m_3^2)\\ &=2A^3+6Am_1^2+2A^3+6Am_2^2+2A^3+6Am_3^2\\ &=\displaystyle \sum_{i=1}^3((A+m_i)^3+(A-m_i)^3)　■ \end{align}

まず、$b$を、$w \equiv b^3 \pmod {2^t}$を満たす奇数とすると、$w $は奇数である。$b_1,b_2 $を、
\begin{align} b_1^3 \equiv b_2^3 \pmod {2^t} \end{align}
を満たす奇数とする。すると、$2^t $は
\begin{align} b_2^3-b_1^3=(b_2-b_1)(b_2^2+b_2b_1+b_1^2) \end{align}
を割り切る。$b_2^2+b_2b_1+b_1^2 $は奇数であるため、$2^t $は$b_2-b_1 $を割り切り、
\begin{align} b_1 \equiv b_2 \pmod {2^t} \end{align}
が言える。
これはつまり、$b_1,b_2 $を
\begin{align} 0 < b_1 < b_2 < 2^t \end{align}
を満たす奇数とすると
\begin{align} b_1^3 \not\equiv b_2^3 \pmod {2^t} \end{align}
であることを言っている。これは、任意の奇数が、$2^t $を法として、ある立方数と合同であることを示している。　■

非負整数$m $が3つの平方数和で表せないとき、ある非負整数$s,t $が存在し、
\begin{align} m = 4^s(8t+7) \end{align}
が成り立つ（ガウス・ルジャンドルの定理）。すると、
\begin{align} 6m=6\cdot 4^s(8t+7)\equiv \begin{cases}   0  & \pmod{96} & s \geq 2\,のとき\\   72 & \pmod{96} & s=1\,のとき\\   42 & \pmod{96} & s=0\, かつ\, t：偶数\,のとき\\   90 & \pmod{96} & s=0\, かつ\, t：奇数\,のとき \end{cases} \end{align}
となる。
$m $が正整数かつ
\begin{align} 6m\equiv h \pmod{96} \end{align}
ただし
\begin{align} h\in\mathcal{H}=\{6,12,18,24,30,36,48,54,60,66,78,84\} \end{align}
のとき、$m $は3つの平方数の和で表せる。ここで、
\begin{align} d\in\mathcal{D}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,13,14,15,17,18,22\} \end{align}
とし
\begin{align} d^3+h\pmod{96} \end{align}
の96での剰余を列挙すると、
\begin{array}{cc|cccccccccccc}   &  &  &  &  &  &  & h &  &  &  &  &  &  \\   &  & 6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 & 48 & 54 & 60 & 66 & 78 & 84 \\ \hline   & 0 & 6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 & 48 & 54 & 60 & 66 & 78 & 84 \\   & 1 & 7 & 13 & 19 & 25 & 31 & 37 & 49 & 55 & 61 & 67 & 79 & 85 \\   & 2 & 14 & 20 & 26 & 32 & 38 & 44 & 56 & 62 & 68 & 74 & 86 & 92 \\   & 3 & 33 & 39 & 45 & 51 & 57 & 63 & 75 & 81 & 87 & 93 & 9 & 15 \\   & 4 & 70 & 76 & 82 & 88 & 94 & 4 & 16 & 22 & 28 & 34 & 46 & 52 \\   & 5 & 35 & 41 & 47 & 53 & 59 & 65 & 77 & 83 & 89 & 95 & 11 & 17 \\   & 6 &  &  & 42 &  &  &  & 72 &  &  & 90 &  &  \\   & 7 &  &  & 73 &  &  & 91 &  &  &  &  &  & 43 \\   & 8 &  &  & 50 &  &  &  & 80 &  &  & 2 &  &  \\  d & 9 &  & 69 &  &  &  &  &  &  & 21 & 27 &  &  \\   & 10 &  &  & 58 & 64 &  &  &  &  &  & 10 &  &  \\   & 11 &  &  & 5 &  &  & 23 &  &  &  &  &  & 71 \\   & 13 &  & 1 &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\   & 14 &  &  &  &  &  &  & 8 &  &  &  &  &  \\   & 15 &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 3 \\   & 17 &  & 29 &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\   & 18 &  &  &  & 0 &  &  &  &  &  &  &  &  \\   & 22 &  &  &  &  &  &  & 40 &  &  &  &  &  \\ \end{array}
96以下のすべての合同がこの表に現れる。（ブランク部分は重複する値のため省略）
すべての$d\in\mathcal{D} $について$0\leq d\leq 22 $であるから、$r\geq 22^3 $ならば$r-d^3 $は非負であり、ある$h\in\mathcal{H} $について$r-d^3\equiv h\pmod{96} $となるような整数$d\in\mathcal{D} $が存在する。
以上より、3つの平方数の和で書ける整数$m $を用いて、$r-d^3=6m $と表せることが分かる。　■

①$8^{10}< N $の場合
②$40000< N\leq 8^{10} $の場合
に分けて考えます。
なお、$1 \leq N \leq 40000 $の場合は補題4により済です。

①$8^{10}< N $の場合
$n:=\lfloor N^{1/3}\rfloor $とおくと、$2^{10}\leq n\leq 2\cdot 8^{k+1} $、つまり$8\cdot 8^{3k}< N\leq 8\cdot 8^{3(k+1)} $をみたす$k\geq 3 $が存在する。
$N_i:=N-i^3 $とおくと、各$i=1,\ldots,n $に対し、
\begin{align} d_i&=N_{i-1}-N_i \\ &=i^3-(i-1)^3 \\ &=3i^2-3i+1 \\ &< 3i^2 \\ &\leq 3N^{2/3} \\ &\leq \dfrac{3\cdot 8^{2k+3}}{2} \end{align}
となる。
\begin{align} N_{i+1}< 8\cdot 8^{3k}\leq N_i \end{align}
を満たす$i $を選ぶと、$i\geq 1,k\geq3 $であるので、
\begin{align} N_n&=N-n^3 \\ &\leq (n+1)^3-n^3-1 \\ &=3n^2+3n \\ &< 6n^2 \\ &\leq 3\cdot 8^{2k+3} \\ &\leq 8\cdot 8^{3k} \end{align}
よって$i\leq n-1 $となり、
\begin{align} N_i< N_{i-1}&=(N_{i-1}-N_i)+(N_i-N_{i+1})+N_{i+1} \\ &=d_i+d_{i+1}+N_{i+1} \\ &< 3\cdot 8^{2k+3}+8\cdot 8^{3k} \\ &\leq 11\cdot 8^{3k} \end{align}
$N_{i-1}-N_i=d_i $は奇数であるので、$N_i $もしくは$N_{i-1} $のどちらかは奇数である。
$N_a=N-a^3 $が奇数となるように$a\in \{i-1,i\} $を選ぶと、補題2より、
\begin{align} N-a^3\equiv b^3\pmod{8^k} \end{align}
を満たす奇数$b\in [1,8^k-1] $が存在する。すると、
\begin{align} 7\cdot 8^{3k}=8\cdot 8^{3k}-8^{3k}&< N-a^3-b^3 \\ &< N_a \\ &< 11\cdot 8^{3k} \end{align}
であり、ある正整数$q $を用いて、
\begin{align} N-a^3-b^3=8^k q \end{align}
と表せる。ここで、
\begin{align} 7\cdot 8^{2k}< q< 11\cdot 8^{2k} \end{align}
なので、$r:=q-6\cdot 8^{2k} $とおくと、
\begin{align} 22^3< 8^6\leq 8^{2k}< r< 5\cdot 8^{2k} \end{align}
となる。
補題3より$r $が、$0\leq d\leq 22 $なる$d $と、3つの平方数和$m $を用いて、$r=d^3+6m $と表せることより、
\begin{align} m\leq \dfrac{r}{6}< \dfrac{5\cdot 8^{2k}}{6}< A^2 \end{align}
となる。（$A:=8^k $とおいている。）
$c:=2^k d $とおくと、
\begin{align} N&=a^3+b^3+8^k q \\ &=a^3+b^3+8^k(6\cdot 8^{2k}+r) \\ &=a^3+b^3+8^k(6\cdot 8^{2k}+d^3+6m) \\ &=a^3+b^3+(2^k d)^3+8^k(6\cdot 8^{2k}+6m) \\ &=a^3+b^3+c^3+6A(A^2+m) \end{align}
となり、補題1より$6A(A^2+m) $は6つの非負立方数の和で表せるので、$N $は9つの非負立方数の和で表せる。

②$40000< N\leq 8^{10} $の場合
$a:=\lfloor (N-10000)^{1/3}\rfloor > 30000^{1/3}> 31 $をとると、
\begin{align} d&=(a+1)^3-a^3 \\ &=3a^2+3a+1 \\ &< 4a^2 \\ &< 4N^{2/3} \end{align}
であり、
\begin{align} &N-(a+1)^3 \\ &< 10000 \\ &\leq N-a^3 \\ &=N-(a+1)^3+d \\ &< 10000+4N^{2/3} \end{align}
とできる。
もし$N-a^3\leq 40000 $であれば、$N-a^3 $は補題4より6つの非負立方数の和で表せる。
もし$N-a^3> 40000 $であれば、
\begin{align} b=\lfloor (N-a^3-10000)^{1/3}\rfloor >31 \end{align}
なる整数$b $を取って、
\begin{align} &N-a^3-(b+1)^3 \\ &< 10000 \\ &\leq N-a^3-b^3 \\ &< 10000+4(N-a^3)^{2/3} \end{align}
とできる。
もし$N-a^3-b^3\leq 40000 $であれば、$N-a^3-b^3 $は補題4より6つの非負立方数の和で表せる。
もし$N-a^3-b^3> 40000 $であれば、
\begin{align} c=\lfloor (N-a^3-b^3-10000)^{1/3}\rfloor >31 \end{align}
なる整数$c $を取って、
\begin{align} &N-a^3-b^3-(c+1)^3 \\ &< 10000 \\ &\leq N-a^3-b^3-c^3 \\ &< 10000+4(N-a^3-b^3)^{2/3} \\ &< 10000+4(10000+4(10000+4N^{2/3})^{2/3})^{2/3} \\ &\leq 10000+4(10000+4(10000+4(8^{10})^{2/3})^{2/3})^{2/3} \\ &< 20000 \end{align}
とできるので、$40000< N\leq 8^{10} $のとき、
\begin{align} 10000< N-a^3-b^3-c^3\leq 40000 \end{align}
を満たす非負整数$a,b,c $が存在する。
よって補題4より、$N-a^3-b^3-c^3 $は6つの非負立方数の和で表せるので、$N $は9つの非負立方数の和で表せる。　■