第28回(2018年) 日本数学オリンピック　予選問題　3

JMO　2018　予選3の解説

2個めの記事です！
問題を解いてみました。
自分なりの解き方なので、よければ参考にしてください。

今回扱う問題

https://www.imojp.org/archive/challenge/old/jmo28yq.html
（著作権とか難しいのでリンクだけにします。）

以下解説が始まります

できるだけ簡単に解きたい、、、→一旦求めるものを文字で置くか
$$ AB=x $$

三平方の定理よりADとBCが表せる
$$ AD＝\sqrt{15^2-x^2} $$
$$ BC＝\sqrt{19^2-x^2} \\ $$

これだけでは解けません
そこで、直線ABと直線BCの交点Pを用意します
ここで三角形BCPと三角形ADPの面積の差が求める面積になっています。
問題文より、
$$ \angle A=45^{\circ} $$
よって、２つの三角形が直角二等辺三角形です。
従ってそれぞれの面積を求めると、
$$ ⊿BCP=\frac{1}{2}\sqrt{19^2-x^2}^2=\frac{19^2-x^2}{2} $$

$$ ⊿ACP=\frac{1}{2}\sqrt{15^2-x^2}^2=\frac{15^2-x^2}{2} $$
このように面積を求めることができます。
２つの三角形の面積の差は
$$ \frac{1}{2}[(19^2-x^2)-(15^2-x^2)]=68 $$
これで台形の面積を求めることができました！

感想

実はMathlogが使えるようになったら書きたいと思っていた記事が今回の内容でした。図形をいれることも考えたのですが、どうやって図を作ったらいいのかわからなかったので、そこは課題かも、、、
まー幾何は手書きも大事ということでぜひ図をを描きながら読んでください。
じゃーまた次の記事で