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現代数学解説
文献あり

Whippleによる2F1の部分和の公式

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

この記事では, 超幾何級数の部分和を${}_3F_2$で表すWhippleによる次の公式を示す.

Whipple(1930)

$\Re(1+a+b-c)>0$のとき, 自然数$n$に対して,
\begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}&=\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)}{\Gamma(1-c)\Gamma(1+a+b-c)}\left(1-\frac{(a,b)_n}{(c-1)_nn!}\F32{1-a,1-b,n}{2-c,n+1}1\right) \end{align}
が成り立つ.

\begin{align} \F32{1-a,1-b,n}{2-c,n+1}{1}&=n\sum_{0\leq k}\frac{(1-a,1-b)_k}{k!(2-c)_k(k+n)} \end{align}
と書くことができるので, $a\mapsto 1-a,b\mapsto 1-b,c\mapsto 2-c$とすると, 定理1は
\begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(1-a,1-b)_k}{k!(2-c)_k}&=\frac{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c-1)\Gamma(1+c-a-b)}\left(1-\frac{n(1-a,1-b)_n}{n!(1-c)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k(k+n)}\right) \end{align}
つまり,
\begin{align} \sum_{0\leq k}\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k(n+k)}&=\frac{n!(1-c)_n}{n(1-a,1-b)_n}\left(1-\frac{\Gamma(c-1)\Gamma(1+c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(1-a,1-b)_k}{k!(2-c)_k}\right) \end{align}
となるので, これは超幾何関数のモーメント
\begin{align} \int_0^1t^{n-1}\F21{a,b}{c}{t}\,dt&=\sum_{0\leq k}\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k(n+k)} \end{align}
を有限和で表す公式を与えていると見ることもできる. よって, これを示すことにする.

$f_k:=\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}$とすると, $k(k+c-1)f_k-(k+a-1)(k+b-1)f_{k-1}=0$である. よって, 
十分大きく$c$を取っておくことによって,
\begin{align} g_n:=\sum_{0\leq k}\frac{f_k}{n+k} \end{align}
として,
\begin{align} 0&=\sum_{0\leq k}\frac{k(k+c-1)f_k-(k+a-1)(k+b-1)f_{k-1}}{n+k}\\ &=\sum_{0\leq k}\left(\frac{k(k+c-1)f_k}{n+k}-\frac{(k+a)(k+b)f_{k}}{n+k+1}\right)\\ &=\sum_{0\leq k}\left(\frac{k(k+c-1)-n(n+1-c)}{n+k}f_k-\frac{(k+a)(k+b)-(n+1-a)(n+1-b)}{n+k+1}f_{k}\right)+n(n+1-c)g_n-(n+1-a)(n+1-b)g_{n+1} \end{align}
だから, Gaussの超幾何定理より,
\begin{align} (n+1-a)(n+1-b)g_{n+1}-n(n+1-c)g_n&=\sum_{0\leq k}\left(\frac{k(k+c-1)-n(n+1-c)}{n+k}f_k-\frac{(k+a)(k+b)-(n+1-a)(n+1-b)}{n+k+1}f_{k}\right)\\ &=\sum_{0\leq k}((k-n+c-1)f_k-(k-n-1+a+b)f_k)\\ &=(c-a-b)\sum_{0\leq k}f_k\\ &=\frac{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)} \end{align}
となる. よって両辺に$\frac{(1-a,1-b)_n}{n!(1-c)_{n+1}}$を掛けて足し合わせることによって,
\begin{align} \frac{(1-a,1-b)_n}{(n-1)!(1-c)_n}g_n-\frac{(1-a)(1-b)}{1-c}g_1&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(1-a,1-b)_k}{k!(1-c)_{k+1}} \end{align}
ここで,
\begin{align} g_1&=\sum_{0\leq k}\frac{(a,b)_k}{(k+1)!(c)_k}&=\frac{c-1}{(a-1)(b-1)}\sum_{0\leq k}\frac{(a-1,b-1)_k}{k!(c-1)_k}\\ &=\frac{c-1}{(a-1)(b-1)}\frac{\Gamma(c-1)\Gamma(1+c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)} \end{align}
を用いて整理すれば
\begin{align} g_n&=\frac{n!(1-c)_n}{n(1-a,1-b)_n}\left(1-\frac{\Gamma(c-1)\Gamma(1+c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(1-a,1-b)_k}{k!(2-c)_k}\right) \end{align}
を得る.

特に$c\mapsto 1$とすると以下を得る.

\begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(a,b)_k}{k!^2}&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\frac{n^2(a,b)_n}{n!^2}\sum_{0\leq k}\frac{(1-a,1-b)_k}{k!^2(n+k)} \end{align}

$a=b=\frac 12$とした特別な場合として次のRamanujanによる公式を得る.

\begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{\left(\frac 12\right)_k^2}{k!^2}&=\pi\frac{\left(\frac 12\right)_n^2}{(n-1)!^2}\sum_{0\leq k}\frac{\left(\frac 12\right)_k^2}{k!^2(n+k)} \end{align}

参考文献

[1]
F. J. W. Whipple, The Sum of the Coefficients of a Hypergeometric Series., J. London Math. Soc., 1930
投稿日:11日前

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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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