調和級数の非収束について簡素な証明

$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots=\alpha$$\cdots$① ($\alpha$は正の実数) とすると
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\cdots=\frac{\alpha}{2}$$\cdots$②
①式から②式を引くと
$\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots=\frac{\alpha}{2}$$\cdots$③
③式から②式を引くと
$(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+\cdots=0$
左辺は明らかに$0$より大きいので矛盾する。
よって条件を満たす正の実数$\alpha$は存在しない　$\blacksquare$