調和級数の非収束について簡素な証明

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こんにちは、放校やじるしです。
今回は、メモ書き程度の内容ですが有名な数学的事実の証明を簡素化したものになります。
同じ方法で証明している先駆者様がいらっしゃればご一報お願いします。

調和級数の非収束

任意の正の実数 $α$ において以下の式は成立しない。
$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots = α$

証明手法（背理法）

$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots = α$ $\dots$ ① ( $α$ は正の実数) とすると
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \dots = \frac{α}{2}$ $\dots$ ②
①式から②式を引くと
$\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \dots = \frac{α}{2}$ $\dots$ ③
③式から②式を引くと
$(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + \dots = 0$
左辺は明らかに $0$ より大きいので矛盾する。
よって条件を満たす正の実数 $α$ は存在しない　 $◼$

修正履歴
2023/07/17 0:55　③式の初項を $\frac{1}{3}$ から $\frac{1}{1}$ に修正

投稿日：2023年7月15日

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