場合の数　練習問題1

場合の数

10.12より

3桁の自然数のうち、5の数字を1回以上用いている奇数は何個あるか。（神奈川大）
$n$ 人 $(n ≧ 3)$ がそれぞれ1個の玉を持ち、A,B,Cの3つの箱にそれぞればらばらに自分の玉を入れるとする。このとき、どの箱にも少なくとも1個の玉が入る入り方は何通りあるか。（山梨学院大）
（1）1つのサイコロを4回振る時、ちょうど２種類の目が出る場合は何通りあるか。
（2）区別できない4つの同じ大きさのサイコロを同時に振る時、ちょうど２種類の目が出る場合は何通りあるか。（福岡大）
男子4人と女子3人を1列に並べる場合の数を考える。両端が男子であるときは $x$ 通りあり、女子3人が隣り合う時は $y$ 通り、女子どうしが隣り合わない時は $z$ 通りある。 $x, y, z$ を求めよ。（帝京大）
（1）1から200までの200個の自然数について、6または8で割り切れる数の個数を求めよ。
（2）1から1000までの間に、3,4,5のどれかで割り切ることのできる整数は何個あるか。
12冊の異なる本を次のように分ける方法は何通りあるか。
（1）5冊、4冊、3冊の3組に分ける。
（2）４冊ずつ3人の子供に分ける。
（3）４冊ずつ3組に分ける。
（4）8冊、2冊、2冊の3組に分ける。（東京理科大）
（1）白色、赤色、橙色、黄色、緑色、青色、藍色、紫色の同じ大きさの球が1個ずつ全部で8個ある。これらの8個の球を2個1組として4つに分ける。このような分け方は全部で何通りあるか。
（2）(1)の8個の球にさらに同じ大きさの白色の球2個を付け加える。これらの10個の球を2個1組として5つに分ける。このような分け方は全部で何通りあるか。（名古屋市立大）
男子4人と女子4人が円形に並ぶ方法は全部で何通りあるか。そのうち、男女が交互に並ぶ方法は何通りあるか。また、この8人から4人が選ばれて、円形に並ぶ方法は何通りあるか。（中京学院大）
大中小3個のサイコロを同時に投げる時、出る目の積が4の倍数となる場合は何通りあるか。（東京女子大）
[internet]という単語のすべての文字を使ってできる順列は何通りあるか。そのうち、どのtもどのeより左にあるものは何通りあるか。（法政大）
[1,1,2,2,3,4,5]の7個の数字を全部使って横に並べる時、どの1についても「その右隣か左隣の少なくとも一方は2」という条件を満たし、どの2についても「その右隣か左隣かの少なくとも一方は1」という条件を満たすような並べ方は何通りあるか。（宇都宮大）
$n$ を自然数とする。正 $6 n$ 角形の異なる3頂点を結んで三角形を作る。以下のそれぞれの三角形が全部何通りあるか。
（1）正三角形
（2）直角三角形
（3）二等辺三角形
（4）鈍角三角形（会津大）
5人の客がホテルのフロントにそれぞれコートをあずけ、帰りに、2人だけがそれぞれ自分のコートを受け取り残り3人がそれぞれ自分のコートと異なるコートを渡される場合の数を求めよ。さらに、すべての5人がそれぞれ自分のコートと異なるコートを渡られる場合の数を求めよ。（東北学院大）
ガラスでできた玉で赤色のものが6個、青色のものが2個、透明なものが1個ある。各玉は中心を通って穴が開いているとする。以下の場合の数を求めよ。
（1）左右一列に並べる方法。
（2）丸く円形に並べる方法。
（3）玉に糸を通して首輪を作る方法。（日大）
（1） $x ≧ 1, y ≧ 1, z ≧ 1, x + y + z = 12$ を満たす整数解 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。
（2） $x ≧ 0, y ≧ 0, z ≧ 0, x + y + z ≦ 8$ を満たす整数解 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。
30個の正の整数 $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{30}$ が
$x_{1} ≧ x_{2} ≧ x_{3} ≧ . . . ≧ x_{30}, x_{1} = 3$
を満たしているとする。このような数の並び $(x_{1}, x_{2}, . . ., x_{30})$ は何個あるか。（明治大）
ある駅の待ち合わせ室に、 $n$ 個のいすが横1列に並んでいる。 $k$ 人が、どの2人も隣り合わないように、いすに座る場合の数を、 $F (n, k)$ とする。 $n ≧ 2 k - 1$ の時、 $F (n, k) =_{n - k + 1} C_{k} \times (k!)$ を証明せよ。（北海道大）