積分問題コンテスト(逆三角関数)

第1回積分問題コンテスト(逆三角関数編)

注意事項

①問題文の指示に従って解くこと。
②必ず証明もつけて答えること。
③特に指定がない限り、電卓の使用はできない。
④時間制限はない。
⑤頑張ること。

問1 肩慣らし(各2点、計10点)

$$ (1) \int (xe^{-\arcsin{x}}-xe^{-\arccos{x}}+1)dx $$

$$ (2) \int x\arccos{x}\arcsin{x}dx $$

$$ (3) \int_0^1 \arcsin{\sqrt{\frac{x}{1+x}}}dx $$

$$ (3)' \int \arcsin{\sqrt{\frac{x}{1+x}}}dx $$

$$ (4) \int \frac{x\arcsin{x}}{1+x+\sqrt{1-x^2}} dx $$

$$ (5) $$
$ f_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{x^{2k+1}(-1)^k}{(2k+1)!} $のとき次を求めよ

$$ \lim_{n→\infty}\int_0^1 f_n(\arcsin{x})dx $$

問2 肩慣らし(15点)

$y=W(\arcsin{x})$について、$y$軸上の区間$y\in[0,\pi]$と交わる回数を求めよ。

問3 不等式(20点)

$x\in[0,\frac{1}{\sqrt{2}}]$のとき
$$x+\frac{x^3}{6}\leqq \arcsin{x} \leqq 3(e^{\frac{x}{3}}-1)$$を示せ。
ただし、電卓(関数電卓等の近似計算ができるものを除く)を用いてよい。
また必要ならば、$\log{x} \leqq x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3$は証明なしに用いてよい。

問4 ？関数(順に、2,2,6,8,12点、計30点)

$f_n(x)$が以下で定義されるとする。
$$ f_n(x)= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2}n\arccos{(n|x|)}\ \ \ \ (|x|\leqq\frac{1}{n}) \\ 0\ \ \ \ (otherwise) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

このとき、次を求めよ。

$$(1) \lim_{n→\infty} \int_{-1}^1 f_n(x)dx $$

$$ (2) \lim_{n→\infty} \int_{-1}^1 \sum_{k=0}^m a_kx^k \ f_n(x)dx $$

$$(3) \lim_{n→\infty} \int_{-1}^1 \log^n(1+|x|)f_n(x)dx $$

$$(4) \lim_{n→\infty} \int_{-1}^1 \frac{\arcsin{x}}{x} f_n(x)dx $$

$$(5) \lim_{n→\infty} \int_{-\frac{1}{e}}^{\infty} W(x) f_n(x-e)dx $$

問5 無限級数(順に、5,25,30点、計60点)

$(\arcsin{x})^{(n)}|_{x=0}=a_n$とおくとき以下に答えよ。
(1)$a_n$を$n$を用いて表せ。

(2)$b_n=a_1+\sum_{k=1}^n4k(k+1)a_{2k+1}$とおくとき、
$\lim_{n→\infty}\frac{\sqrt[n]{b_n}}{(n+1)^2}$を求めよ。

(3)$c_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\frac{1}{2k+1}$とおくとき、
$\lim_{n→\infty}c_n$を求めよ。

問6 箸休め計算問題(順に、10,10点、計20点)

(1)$\ $次の不等式の表す領域の面積を求めよ。

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x^2-2xy+y^2\leqq 1\\ x^2+y^2 \leqq 2 \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
(2)
$$ f(a)=\int_{-\sqrt{1-a^2}}^a|\arcsin{x}|dx \ \ \ (a\in[0,1]) $$
$$ then,\ \ \min{f(a)}=? $$

問7 計算多め(15点)

$$ \int_0^1 \arctan{(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^3})} dx $$

問8 かんたん(5点)

$$ \int_0^1 \frac{\arcsin{\sqrt{x}}}{\sqrt{1-x+x^2}}dx $$

問9 面積気づけば終わり(35点)

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} f(x)=(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\sqrt{1-x^2})e^{-x}\\ g(x)=x\arcsin{x}e^{-x} \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
このとき$y=f(x)$及び$y=g(x)、x=-\frac{1}{\sqrt{2}}、x=\frac{1}{\sqrt{2}}$で囲まれた部分の面積を求めよ。

問10 体積(順に、15,5,20点、計40点)

$(1)$
$a,b \in \mathbb{R}$とする。
直線$l:y=ax$及び、曲線$C:y=\arcsin{x}$と、$C$上の２点$(1,\frac{\pi}{2}),(-1,-\frac{\pi}{2})$から$l$におろした垂線とで囲まれた領域を、$l$軸周りに１回転させた部分の体積を$V_1(a)$とするとき、$b=V_1(a)$のグラフを$ab$平面に図示せよ。
$(2)$
$x^2+y^2\leqq a^2,y^2+z^2\leqq a^2,|x|\leqq1,|y|\leqq1,|z|\leqq1$で表される立体の体積を$V_2(a)$とするとき、$b=V_2(a)$のグラフを$ab$平面に図示せよ。
$(3)$
$x^2+y^2\leqq a^2,|y|\leqq1,|z|\leqq1$で表される立体の体積を$V_3(a)$とするとき、$b=V_3(a)$のグラフを$ab$平面に図示せよ。

問11 おまけ(100点)

$$ f(x)=\arcsin{((x-2k)(-1)^k)} \ \ \ (x\in[2k-1,2k+1]) $$

で定義される$f(x)$に関して曲線$y=e^{-x}f(x)$と$x$軸の$x\in[0,n]$で囲まれた領域を$D_n$とする。
このとき、$D_n$を$x$軸で回転させた領域と$y$軸で回転させた領域のそれぞれの体積を$A_n,B_n$とする。
次の近似値(有効数字3桁)を求めよ。(関数電卓可)
$$ \lim_{n→\infty}A_n,\lim_{n→\infty}B_n $$