積分問題コンテスト(逆三角関数)

第1回積分問題コンテスト(逆三角関数編)

注意事項

①問題文の指示に従って解くこと。
②必ず証明もつけて答えること。
③特に指定がない限り、電卓の使用はできない。
④時間制限はない。
⑤頑張ること。

問1 肩慣らし(各2点、計10点)

$$(1)\int (x{e}^{-\arcsin x}-x{e}^{-\arccos x}+1)dx$$

$$(2)\int x\arccos x\arcsin xdx$$

$$(3){\int }_0^1\arcsin \sqrt{\frac{x}{1+x}}dx$$

$$(3{)}^{\prime }\int \arcsin \sqrt{\frac{x}{1+x}}dx$$

$$(4)\int \frac{x\arcsin x}{1+x+\sqrt{1-x^2}}dx$$

$$(5)$$
$f_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{x^{2k+1}(-1{)}^k}{(2k+1)!}$のとき次を求めよ

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{f}_n(\arcsin x)dx$$

問2 肩慣らし(15点)

$y=W(\arcsin x)$について、$y$軸上の区間$y\in [0,\pi ]$と交わる回数を求めよ。

問3 不等式(20点)

$x\in [0,\frac{1}{\sqrt{2}}]$のとき
$$x+\frac{x^3}{6}\leqq \arcsin x\leqq 3(e^{\frac{x}{3}}-1)$$を示せ。
ただし、電卓(関数電卓等の近似計算ができるものを除く)を用いてよい。
また必要ならば、$\log x\leqq x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3$は証明なしに用いてよい。

問4 ？関数(順に、2,2,6,8,12点、計30点)

$f_n(x)$が以下で定義されるとする。
$$f_n(x)=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}n\arccos (n|x|)(|x|\leqq \frac{1}{n})\\ 0(otherwise)\end{array}\end{array}$$

このとき、次を求めよ。

$$(1)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-1}^1{f}_n(x)dx$$

$$(2)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-1}^1\sum _{k=0}^m{a}_k{x}^k{f}_n(x)dx$$

$$(3)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-1}^1{\log }^n(1+|x|)f_n(x)dx$$

$$(4)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-1}^1\frac{\arcsin x}{x}{f}_n(x)dx$$

$$(5)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-\frac{1}{e}}^{\mathrm{\infty }}W(x)f_n(x-e)dx$$

問5 無限級数(順に、5,25,30点、計60点)

$(\arcsin x{)}^{(n)}{|}_{x=0}=a_n$とおくとき以下に答えよ。
(1)$a_n$を$n$を用いて表せ。

(2)$b_n=a_1+\sum _{k=1}^{n}4k(k+1)a_{2k+1}$とおくとき、
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[n]{b_n}}{(n+1{)}^2}$を求めよ。

(3)$c_n=\sum _{k=0}^n\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\frac{1}{2k+1}$とおくとき、
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n$を求めよ。

問6 箸休め計算問題(順に、10,10点、計20点)

(1)$$次の不等式の表す領域の面積を求めよ。

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}2x^2-2xy+y^2\leqq 1\\ x^2+y^2\leqq 2\end{array}\end{array}$$
(2)
$$f(a)={\int }_{-\sqrt{1-a^2}}^a|\arcsin x|dx(a\in [0,1])$$
$$then,minf(a)=?$$

問7 計算多め(15点)

$${\int }_0^1\arctan (\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^3})dx$$

問8 かんたん(5点)

$${\int }_0^1\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1-x+x^2}}dx$$

問9 面積気づけば終わり(35点)

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}f(x)=(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\sqrt{1-x^2})e^{-x}\\ g(x)=x\arcsin x{e}^{-x}\end{array}\end{array}$$
このとき$y=f(x)$及び$y=g(x)、x=-\frac{1}{\sqrt{2}}、x=\frac{1}{\sqrt{2}}$で囲まれた部分の面積を求めよ。

問10 体積(順に、15,5,20点、計40点)

$(1)$
$a,b\in \mathbb{R}$とする。
直線$l:y=ax$及び、曲線$C:y=\arcsin x$と、$C$上の２点$(1,\frac{\pi }{2}),(-1,-\frac{\pi }{2})$から$l$におろした垂線とで囲まれた領域を、$l$軸周りに１回転させた部分の体積を$V_1(a)$とするとき、$b=V_1(a)$のグラフを$ab$平面に図示せよ。
$(2)$
$x^2+y^2\leqq a^2,y^2+z^2\leqq a^2,|x|\leqq 1,|y|\leqq 1,|z|\leqq 1$で表される立体の体積を$V_2(a)$とするとき、$b=V_2(a)$のグラフを$ab$平面に図示せよ。
$(3)$
$x^2+y^2\leqq a^2,|y|\leqq 1,|z|\leqq 1$で表される立体の体積を$V_3(a)$とするとき、$b=V_3(a)$のグラフを$ab$平面に図示せよ。

問11 おまけ(100点)

$$f(x)=\arcsin ((x-2k)(-1{)}^k)(x\in [2k-1,2k+1])$$

で定義される$f(x)$に関して曲線$y=e^{-x}f(x)$と$x$軸の$x\in [0,n]$で囲まれた領域を$D_n$とする。
このとき、$D_n$を$x$軸で回転させた領域と$y$軸で回転させた領域のそれぞれの体積を$A_n,B_n$とする。
次の近似値(有効数字3桁)を求めよ。(関数電卓可)
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{B}_n$$