垂心に関連したとある性質について

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　こんにちは．私が発見して面白いなと思った性質を紹介します．この性質を使って解くことも可能な自作問題があるので，問題をまだ解いてない方はここから問題を見てみてください．

本題

　上の問題中にも登場した性質について紹介しましょう．

性質

　三角形 $A B C$ において，外接円を $Γ$ ， $A, B, C$ から対応する直線に下ろした垂線の足をそれぞれ $D, E, F$ とし，半直線 $E F$ と $Γ$ の交点を $P$ とする． $E F = F P$ であるとき，四角形 $A P B C$ は調和四角形である．

あ
ああ
あああ
ああああ
あああああ
ああああああ
あああああああ
ああああああああ
あああああああああ
ああああああああああ
あああああああああああ
ああああああああああああ
あああああああああああああ
ああああああああああああああ
あああああああああああああああ(浜松のうなぎ美味しいですよ)
ああああああああああああああ
あああああああああああああ
ああああああああああああ
あああああああああああ
ああああああああああ
あああああああああ
ああああああああ
あああああああ
ああああああ
あああああ
ああああ
あああ
ああ
あ
証明のうちの1つを紹介します．シンプルに相似を追います．

　 $∠ A P F = ∠ A F E - ∠ P A B = ∠ A C B - ∠ P C B = ∠ A B P$ より $△ A F P \sim △ A P B$ ．および $△ A E F \sim △ A C B$ を用いると，以下の計算が可能である．
$A P : P B = A F : F P = A F : F E = A C : B C$
　ゆえに， $A P \times B C = B P \times A C$ であり，これは四角形 $A P B C$ が調和四角形であることを意味する．