垂心に関連したとある性質について
こんにちは．私が発見して面白いなと思った性質を紹介します．この性質を使って解くことも可能な自作問題があるので，問題をまだ解いてない方は ここ から問題を見てみてください．
本題
上の問題中にも登場した性質について紹介しましょう．
三角形$ABC$において，外接円を$\Gamma$，$A,B,C$から対応する直線に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし，半直線$EF$と$\Gamma$の交点を$P$とする．$EF=FP$であるとき，四角形$APBC$は調和四角形である．
あ
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ああ
あ
証明のうちの1つを紹介します．シンプルに相似を追います．
$\angle APF=\angle AFE-\angle PAB=\angle ACB-\angle PCB=\angle ABP$より$\triangle AFP\sim\triangle APB$．および$\triangle AEF\sim\triangle ACB$を用いると，以下の計算が可能である．
$$AP:PB=AF:FP=AF:FE=AC:BC$$
ゆえに，$AP\times BC=BP\times AC$であり，これは四角形$APBC$が調和四角形であることを意味する．
まとめ
垂心と等辺の条件からsymmedianが登場するのが少し面白いですね．余談ですが，辺$AB$の中点を$M$とすると，$CA=CM$が成立したりします．