競技数学解説

OMC293 Writer記

OMC

はじめに

OMC293で単独writerを務めさせていただきました、SuamaXと申します。

初単独です！　前回もセット提出時は単独ではあったのですが、提出後に問題の不採用による差し替えが発生したため純粋な単独回は初めてになります。

なお、問題の内容について触れるので精進などで解きたい方は先に解くことをお勧めします。コンテストページは以下。

https://onlinemathcontest.com/contests/omc293

全体を通して

N-C-G-N-A-Cの233445配点と、かなり標準的なセットだったかと思います。CとDの間にやや崖があるかもしれません。個々の問題については後述しますが、D,E,Fが結構ちゃんと考察パートをやらないといけない問題のため全完は結構難しそうです。

追記: D,E,Fの布陣の時間削り性能が思っていた数倍ヤバかったようです。最終的な全完者4名(AI疑惑除き1～2名？)となりました。本当に233445？

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OMC-293(A) 難易度: 200 分野: N

素因数分解です。ごめん。

OMCをやっていて一番焦る時間はA問題で沼ってる時なのでA問題に大沼を設置してやろうと思いました。とりあえず2で割れるだけ割ってみると1093×1373をエスパーする羽目になります。24010000+1024と分解した後も、1024を2^10とみなした瞬間ドツボにハマる性格の悪い問題でした。

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OMC-293(B) 難易度: 300 分野: G

幾何でした。なぜかTLで「今回のOMCは幾何無し回」みたいな風説が流れてましたがありますよ。B問題だけど。最初はCに置いていましたが、ベクトルがぶっ刺さるなどの理由からB問題とswapが発生したようです。

もともとは三角形YBCに対する九点円を考えるとM,X,E,Dが共円であることがわかるという問題でした。数値設定もその解き方に寄せています。が、公式解説で「普通にB,X,E,Cが円周角より共円で良くないですか」と言われこの形に。無常。

結果として弱めの300に落ち着いた感があります。無印単独やるうえでA問題だけ幾何みたいなのは流石になと思っていたので300Gを置けて良かった。

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OMC-293(C) 難易度: 300 分野: C

組み合わせの一発ゲーです。母関数入門。

母関数を使うことが本質な低難易度の問題ってあんまりOMCで見ないなと思ったので生やしました。慣れている人は5分かからずに瞬殺しそうです。

個人的にはかなり一発ゲーとして気に入っていますが、一方で300Cに母関数とLucasを詰め込むのはちょっと要求知識が難易度帯の標準を逸脱しているような気もしており。難しいところですね。

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OMC-293(D) 難易度: 400 分野: N

整数パズルでした。好きなんですよね、トーシェント関数を使った素因数パズル。ちゃんと議論すると2つの式から得られる条件はかなりシンプルに定まります。

少し列挙が重かったかもしれません。私自身がかなりエスパーを多用するタイプのsolverなのもありできるだけ雑なエスパーが通らない係数にしたのですが、そのせいで素因数が2つの場合の探索が面倒になってしまったきらいがあります。一応ある程度の枝刈りは可能ですが、それでも探索に5分以上かかってしまうかも。申し訳ない。

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OMC-293(E) 難易度: 400 分野: A

Alice-Bobのゲームでした。N^2+2(N+1)≒(N+1)^2というところから試しに考察してみたところ、なんか思ってたより非自明な感じの一般項が出てきたので問題に落とし込んだ形です。

セット案投稿時点では500だったのが400に格下げされています。正直……どうなんですかね？　N=65程度まで実験すればエスパーは比較的容易(実際、私が考察してた時もそんな感じでした)なものの、N=65まで実験する人間がそんなにいるか？という気にもなります。ちゃんと厳密に議論しようとすると500の格はあるような気もしていたり、そもそもOMCではAlice-Bobのゲーム自体が割と逆詐称になることもあり…… 400になることに異論はないものの、400と500のどちらが適正かは悩みどころですね。

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OMC-293(F) 難易度: 500 分野: C

ラスボスの組み合わせ構築ゲーです。めっちゃむずい。

こちらもE問題と同様、問題が先にあって考察したタイプの問題となります。最初はマス目の数が3n型→|M|=4nになる！という構成が面白くて遊んでいたのですが、よくよく考察するとマス目の数が(3n+2)型の時に難易度が一段階上がるとわかりました。とんでもないコーナーケースが発生するんですね。今回の問題ではそのケースを見落とすと答えが1500になります。

マス目の言い換えに成功してからドミノの配置に更に言い換えるパートがかなり見えづらく、それに気づいてからもヘンテコなコーナーケースを避ける繊細な場合分けが要求され、一発でCAするのはかなり難しいです。(6,8,16,27,36,81)型が盲点すぎる。

この問題はいつか自分が4Eを開催する時用にとっておくか最後まで悩みましたが、この機会に放流することにしました。無印ラスボスとしての格は充分でしょう。

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