普遍性による写像の分解

0. はじめに

今回は, 集合の間の写像が, いつでも$(\text{単射})\circ(\text{全単射})\circ(\text{全射})$と分解できるという事実を, 普遍性を用いて眺めてみる.
以下で行う議論は, すべて集合の圏$\mathbf{Set}$の中で行われているとする. が, 集合論的な議論の部分を除けば大半は一般の圏で成り立つ.

1. 用いる道具

集合間の写像$f:A\to B$について考える. 以下のようにpullbackを考える.
\begin{xy} \xymatrix{ A\times_{f,B,f}A\ar[r]^-{p_1}\ar[d]_-{p_0}&A\ar[d]^-f\\ A\ar[r]_-f&B } \end{xy}
このとき
\begin{align} A\times_{f,B,f}A=\{(a_0,a_1)\in A\times A\mid f(a_0)=f(a_1)\} \end{align}
ととることができる. このとき$p_0,p_1$は
\begin{align} p_0(a_0,a_1)&:=a_0,\\ p_1(a_0,a_1)&:=a_1\quad ((a_0,a_1)\in A\times_{f,B,f}A) \end{align}
を表す.
同様に, 以下のようにpushoutを考える.
\begin{xy} \xymatrix{ A\ar[r]^-f\ar[d]_-f&B\ar[d]^-{i_1}\\ B\ar[r]_-{i_0}&B+_{f,A,f}B } \end{xy}
このとき
\begin{align} B+_{f,A,f}B&=(B \amalg B)/\!\sim\\ &=\Big(\{(0,b_0)\mid b_0\in B\}\cup\{(1,b_1)\mid b_1\in B\}\Big)/\!\sim \end{align}
ととることができる. ここでこの$\sim$は
\begin{align} (0,b_0)\sim’ (1,b_1)\quad :\iff \quad \exists a\in A,\ b_0=b_1=f(a) \end{align}
という関係$\sim’$から生成される同値類である. このとき$i_0,i_1$は
\begin{align} i_0(b)&:=(0,b),\\ i_1(b)&:=(1,b)\quad (b\in B) \end{align}
を表す.

2. 写像の分解を考えよう.

以下の図式を考える.
\begin{xy} \xymatrix{ A\times_{f,B,f}A\ar@<0.5ex>[r]^-{p_1}\ar@<-0.5ex>[r]_-{p_0}&A\ar[r]^-{f}\ar[d]_-\pi&B\ar@<0.5ex>[r]^-{i_1}\ar@<-0.5ex>[r]_-{i_0}&B+_{f,A,f}B\\ & \operatorname{coeq} (p_0,p_1)& \operatorname{eq} (i_0,i_1)\ar[u]_-\iota& } \end{xy}
このとき,

$\pi$はエピである.

コイコライザーの一般論ではあるが, 一応証明を記す.

下のように, $\alpha\circ \pi=\beta\circ \pi(=:k)$となるような$\alpha,\beta$をとる.
\begin{xy} \xymatrix{ A\times_{f,B,f}A\ar@<0.5ex>[r]^-{p_1}\ar@<-0.5ex>[r]_-{p_0}&A\ar[r]^-{\pi}\ar[rd]_-{k}& \operatorname{coeq} (p_0,p_1) \ar@<0.5ex>[d]^-{\beta}\ar@<-0.5ex>[d]_-{\alpha}\\ & & C } \end{xy}
すると
\begin{align} k\circ p_0&=\alpha\circ (\pi\circ p_0)\\ &=\alpha\circ (\pi\circ p_1)\\ &=k\circ p_1 \end{align}
なので, $(\operatorname{coeq} (p_0,p_1),\pi)$の普遍性より$\alpha$と$\beta$は等しくなる.

同様にすれば, $\iota$がモノであることもわかる.
$ \operatorname{coeq} (p_0,p_1)$の普遍性から, 以下のような$u$が一意に存在する.
\begin{xy} \xymatrix{ A\times_{f,B,f}A\ar@<0.5ex>[r]^-{p_1}\ar@<-0.5ex>[r]_-{p_0}&A\ar[r]^-{f}\ar[d]_-\pi&B\ar@<0.5ex>[r]^-{i_1}\ar@<-0.5ex>[r]_-{i_0}&B+_{f,A,f}B\\ & \operatorname{coeq} (p_0,p_1)\ar@{.>}[ur]_-{\exists !u}& \operatorname{eq} (i_0,i_1)\ar[u]_-\iota& } \end{xy}
さらに,
\begin{alignat}{2} &i_0\circ f=i_1\circ f& &\\ \Longleftrightarrow\quad&i_0\circ u\circ \pi=i_1\circ u\circ \pi& &\\ \Longrightarrow\quad&i_0\circ u=i_1\circ u& &(\pi\text{ のエピ性}) \end{alignat}
なので, $\operatorname{eq} (i_0,i_1)$の普遍性から以下のような$f$が一意に存在する.
\begin{xy} \xymatrix{ A\times_{f,B,f}A\ar@<0.5ex>[r]^-{p_1}\ar@<-0.5ex>[r]_-{p_0}&A\ar[r]^-{f}\ar[d]_-\pi&B\ar@<0.5ex>[r]^-{i_1}\ar@<-0.5ex>[r]_-{i_0}&B+_{f,A,f}B\\ & \operatorname{coeq} (p_0,p_1)\ar@{.>}[r]_-{\exists !\bar f}\ar@{.>}[ur]_-{\exists !u}& \operatorname{eq} (i_0,i_1)\ar[u]_-\iota& } \end{xy}
よって, 写像$f:A\to B$は
\begin{align} f=\iota\circ \bar f\circ \pi \end{align}
のようにモノとエピを用いて分解することができることがわかる($\bar f$がモノエピであることは, 集合論的に具体的に示すくらいしか方法を知りません, すみません).

最後に, $ \operatorname{coeq} (p_0,p_1), \operatorname{eq} (i_0,i_1)$が具体的にどのような集合になっているかを見てみる(注意深く見ればこうなることがわかる).
\begin{align} \operatorname{coeq} (p_0,p_1)&=A/\!\sim_f(=\operatorname{Coim} f),\\ \operatorname{eq} (i_0,i_1)&=f(A)(=\operatorname{Im} f) \end{align}
ただし, $\sim_f$は, 写像$f$に付随する同値類を表す.