非可換ラドンニコディムの定理

今回は非可換ラドンニコディムの定理を紹介しようと思います.

まず測度と類似する性質を持つ線形汎函数のクラスを定義します.

状態,正規状態

ヒルベルト空間 $H$ に作用するvon Neumann環 $M$ 上で定義された正の線形汎函数で $I$ での値が $1$ であるものを状態という. $σ -$ WOT連続な状態を正規状態という.

これは単調収束定理に似た次の性質を持ちます.

$ω$ を $M$ 上の正規状態とする. $H$ を上限とする $M$ 上の作用素の単調増加なネット ${H_{a}}_{a}$ に対し $ω (H_{a}) \to ω (H)$ が成り立つ.

$σ -$ WOTは $* -$ 同型で保たれる位相でvon Neumann環を考える時によく登場する自然な位相の一つです.WOTやSOTの場合は以下のように保たれない例があります.
https://mathoverflow.net/questions/313640/examples-of-isomorphic-w-algebra-with-non-homeomorphic-weak-topology
非可換ラドンニコディムの定理を述べます.

Sakai-Radon-Nikodym

$ω, ω_{0}$ を $M$ 上の正の正規線形汎函数で $ω_{0} \leq ω$ を満たすものとする.このとき,ノルム $1$ 以下のある正の元 $H_{0} \in M$ が存在して $ω_{0} (A) = ω (H_{0} A H_{0})$ を満たす.

さらに $σ -$ WOTでの連続性を落とした場合次が成り立ちます.

$ω$ を $M$ 上の正の正規線形汎函数とする. $ρ_{0}$ を $M$ 上の有界線形汎函数で $0 \leq ρ_{0} \leq ω$ を満たすものとすると,ノルム $1$ 以下のある正の元 $H_{0} \in M$ が存在して $ρ_{0} (A) = \frac{1}{2} ω (H_{0} A + A H_{0})$ を満たす.

この定理を用いると次のようなことがわかります.

定理2

$M$ を ${II}_{1}$ 型因子環, $tr$ をそのトレースとする. $ω$ を $M$ 上の正規線形汎函数で $0 \leq ω \leq tr$ を満たすものとする.このとき,ノルム $1$ 以下のある正の元 $H_{0}$ が存在して $ω (A) = tr (H_{0} A)$ を満たす.

定理2 系

$M$ を ${II}_{1}$ 型因子環, $N$ をその部分von Neumann環とすると $tr (A B) = tr (E_{N} (A) B)$ を満たす $N$ への条件付き期待値 $E_{N}$ が一意に存在する.

投稿日：2024年5月2日

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