一発芸(YANA和)
あいさつ
んちゃ！
今回は一発芸をやります野田⭐️
- $\zeta(\alpha,s)\coloneqq\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+\alpha)^{s}}$
一発芸
数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}\subset\mathbb{C}$によって定まる和を次の様に定める。
\begin{equation}
\kappa(\{a_{n}\},s)\coloneqq\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\zeta(n,s)
\end{equation}
この和をYana和と呼ぶ。
数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}$に対して次の様な級数が成り立ったとする：$f(x)\coloneqq\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}\quad(|x|\lt \infty)$
すると下記の式が成り立つ。
\begin{equation}
\kappa(\{a_{n}\},s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}f(e^{-x})}{1-e^{-x}}dx
\end{equation}
\begin{eqnarray} \kappa(\{a_{n}\},s)&=&\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\zeta(n,s)\\ &=&\frac{1}{\Gamma(s)}\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}a_{n}e^{-nx}}{1-e^{-x}}\\ &=&\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}f(e^{-x})}{1-e^{-x}}dx \end{eqnarray}
$a_{n}=1$の場合は$f(x)=\frac{x}{1-x}$なので
\begin{eqnarray}
\kappa(\{1,1,...\},s)&=&\sum_{n=1}^{\infty}\zeta(n,s)\\
&=&\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{(1-e^{-x})^{2}}dx\\
&=&\frac{1}{\Gamma(s)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2)_{n}}{n!}\int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{-(n+1)x}dx\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{s-1}}\\
&=&\zeta(s-1)
\end{eqnarray}
数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}$に対して次の様な級数が成り立ったとする：$f(x)\coloneqq\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}\quad(|x|\lt 1)$
すると下記の式が成り立つ。
\begin{equation}
\kappa(\{a_{n}\},s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{1}\frac{(-\log{x})^{s-1}f(x)}{x(1-x)}dx
\end{equation}
\begin{eqnarray} \kappa(\{a_{n}\},s)&=&\frac{1}{\Gamma(s)}\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{(-\log{x})^{s-1}a_{n}x^{n}}{x(1-x)}dx\\ &=&\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{1}\frac{(-\log{x})^{s-1}f(x)}{x(1-x)}dx \end{eqnarray}
$a_{n}=-\frac{1}{n}$とすると$f(x)=-\log{(1-x)}$なので下記の様に計算できる。
\begin{eqnarray}
\kappa(\{-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3},...\},s)&=&-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\zeta(n,s)\\
&=&\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{1}\frac{(-\log{x})^{s-1}\{-\log{(1-x)}\}}{x(1-x)}dx\\
&=&\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{s-1}\log{(1-e^{-y})}}{1-e^{-y}}dy\\
&=&-\frac{1}{\Gamma(s)}\sum_{n=1}^{\infty}H_{n}\int_{0}^{\infty}y^{s-1}e^{-ny}dy\\
&=&-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{n}}{n^{s}}
\end{eqnarray}
よって以下の式を得る。
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\zeta(n,s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_{n}}{n^{s}}
\end{equation}
$a_{n}=\frac{\begin{pmatrix}2n-2\\n-1\end{pmatrix}}{4^{n-1}}$とした場合は$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x}}$なので下記の様に計算できる。
\begin{eqnarray}
\kappa(\{1,\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{15}{8},...\},N)&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\begin{pmatrix}2n-2\\n-1\end{pmatrix}}{4^{n-1}}\zeta(n,N)\\
&=&\frac{1}{\Gamma(N)}\int_{0}^{1}\frac{(-\log{x})^{N-1}}{(1-x)^{\frac{3}{2}}}dx\\
&=&\frac{1}{\Gamma(N)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{3}{2})_{n}}{n!}\int_{0}^{1}x^{n}(-\log{x})^{N-1}dx\\
&=&(-1)^{N-1}\frac{1}{\Gamma(N)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{3}{2})_{n}}{n!}\int_{0}^{1}x^{n}(\log{x})^{N-1}dx\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{3}{2})_{n}}{n!(n+1)^{N}}\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n+1)!}{4^{n}(n!)^{2}(n+1)^{N}}
\end{eqnarray}
よって以下の式を得る。
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\begin{pmatrix}2n-2\\n-1\end{pmatrix}}{4^{n-1}}\zeta(n,N)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n+1)!}{4^{n}(n!)^{2}(n+1)^{N}}
\end{equation}
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