高校数学解説

ルートの近似と相加相乗平均の不等式について

不等式,高校数学

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

はじめに

こんにちは！
みなさんは相加相乗平均の不等式を知っていますか？

相加相乗平均の大小関係

正の実数a,bに対し、

$$ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} $$
(等号成立は$a=b$のとき)

この式自体は高校数学IIで習う式です。証明も簡単にできます。

$$ \left(\sqrt{a} - \sqrt{b} \right)^2 \geq 0 $$
二乗を展開すると
$$ a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0 $$
移項して
$$ a + b \geq 2\sqrt{ab} $$
$$ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$$
$$ \square $$

それに対して、あまり知られていないですが、

調和平均との大小関係

$$ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} $$

というのもあります。（証明は省く）

ルートの近似

この不等式を利用するとルートの近似ができるのではないかということに気が付きました。

$\sqrt{21}$の場合

まず、$4^2 \lt 21 \lt 5^2$であるから
$4 \lt \sqrt{21} \lt 5$
$a=4$,$b=\frac{21}{4}$とすると相加相乗平均の大小関係より
$$ \frac{4+\frac{21}{4}}{2}\geq \sqrt{4\cdot \frac{21}{4}} $$
$$ \frac{4+\frac{21}{4}}{2} =2+\frac{21}{8} = \frac{37}{8}=4.625\geq\sqrt{21} $$
$a=\frac{37}{8}$,$b=\frac{21}{\frac{37}{8}}$として、また相加相乗平均の不等式を使うと
$$\frac{\frac{37}{8}+\frac{21}{\frac{37}{8}}}{2}=4.58277...\geq\sqrt{ab}$$
実際に計算機で計算すると
$$\sqrt{21} \fallingdotseq 4.58257569...$$

なんと相加相乗平均を二回使うだけで少数第3位まで近づきました！（調和平均を使うと下からもルートの値を評価できる。）

なぜ成り立つか

$\sqrt{m}$の近似をしたいとき、相加相乗平均の不等式より
$ab=m$です。
ここで、相加相乗平均の不等式は$a=b$のときに等号が成立するんでしたね。
$$\frac{a+b}{2}=\sqrt{ab}$$
$a=b$なのだから$a^2=m$なので、$a=\sqrt{m}$
なのでaに$\sqrt{m}$に近い値（もしくは整数部分）を入れてあげ、$b$を$m/a$とすると
$$\frac{a+b}{2} \fallingdotseq \sqrt{ab}$$となるんですね〜