kobon triangleをMenelausとつなげる

藤村の三角形問題 の考察をしている際に、気づいたことがあったのでまとめます。

導入

この問題の解を一般化することなどは未解決であるが、部分的には証明されているものがある。(以下例)
k=3のとき k=4のとき k=7のとき

※詳しく知りたい方は こちら を参考にしてください。

本題

この問題について、様々な図形を描いていた時にk=4の形がMenelausの定理を思い出させるような形をしているなと思い関係性があるのか気になった。そこで、以下の操作について考えることにした。(言葉だけではわかりにくいので枠組みの下に図を載せます)

Menelaus Rule

この操作をすることで、内部領域内で生成される図形がほとんど三角形である！！

最初に図7の図形を見たとき私は以下の予想を立てた。

実際は操作4において反例が現れるのでこの予想は正しくないことが分かった。しかし、これだけ三角形が生成されるのには何か性質があるのではないかと思い研究することにした。

k=4のとき満たすことが分かっている。
それ以外ではどうか？
おそらく、K>4では得られないと考えられる。

具体的に考えるために、図7から考察していると

のようにピンク色の線によって三角形が2分割されているものが多くみられることが分かった。
このとき、内部領域的には線分を一本損することになり、別の三角形に使われる場合と比べても、総線分数的にも損する。[1]
つまり、perfect configurationに比べて、これは三角形の個数も少なくなる。
以上より、k>4の場合においてはこれが最適解となることは存在しにくいということが言える。
(厳密な証明ではないけれども感覚的にはこのように解釈しました)

実験

以下、geogebraを用いて具体的に考察をしてみた。

以上のように、いずれの場合においても現れる図形はどの場合においても同じであり、個数も同じである。(つまり図形の形が多少変わるくらいしか変化が起こらない！)

つまり、以下の補題が成り立つといえる（自明な部分はあるため性質として気づいたもの）。

この補題を活用することによって要旨集にもあるような下界をより厳密なものにすることができると予想した。

※私のプロフィールのアイコンはMenelausRuleの操作を繰り返していたときに現れたものです。