Hirsch 微分トポロジーの問題1.1.11 非零ベクトル場と積分曲線

　まず、チャートを構成する事で多様体の構造が入る事を示す。
　ベクトル場は各点で非零なので、積分曲線は必ず曲線の形で存在する(1点に潰れたものが無いということ)。そのため、Flow boxes theorem(直線化定理?)より、各点$p\in U$に対して、その近傍$B$とある正の$\epsilon,\delta$で、以下を満たす$C^r$級同相写像$\psi:B\to (-\epsilon,\epsilon)×(-\delta,\delta)$が存在する:
$\psi_＊ X=\partial/\partial t,((s,t)\in (-\epsilon,\epsilon)×(-\delta,\delta))$。
(これは単に、局所的に見れば範囲内の積分曲線を“縦の直線”とみなす事ができるという条件である。今回の場合は、範囲内の全ての積分曲線が、$s=$(定数)という形で書ける事を保証している。)
　また、この座標変換を用いて$\sigma=\psi^{-1}((-\epsilon,\epsilon)×\{0\})$
と定めると、この$\sigma$と$B$内の任意の積分曲線は、たった一点で横断的に交わる事に注意する。(複数回横断する場合は、$B$をもっと小さく取れば良い。)

　いま、$h_B:B\to (-\epsilon,\epsilon)$を、座標変換後の第一成分への射影とする。
　このとき$h_B$は定義から、$B$内の同じ積分曲線上では同じ値を取るため、$\pi$を$U$から$M$への商写像とすると、$h_B=f_B\circ \pi|_B$を満たす$f_B:\pi (B)\to (-\epsilon,\epsilon)$が存在する。($f_B$は単に、商空間$M$の元$[x]$に対して、その点$x$を含む積分曲線で$B$に含まれるものがあったら、その$B$内での$s$成分の値を返す写像。)
　この$f_B$は、$h_B$と$\pi|_B$の連続性、$\phi$の同相性から明らかに同相である。
　したがって、この$f_B$によって$M$のチャート$(\pi (B),f_B)$が構成できる。
　いま、このチャートは$U$の任意の点の$\pi$による像に対して同様に構成できるため、これにより$M$が一次元多様体であることが示された。

　次に、このチャートが$C^r$級である事を示す。
　そのために、$U_{1,2}=\pi (B_1)\cap \pi (B_2)\neq \emptyset$での座標変換$f_{B_2}\circ f_{B_1}^{-1}$を考える。

　いま、$U_{1,2}\neq \emptyset$であることから、この集合の各元$[x]$は、その$x$を通る積分曲線を共有している。
　そのため、各$B_1,B_2$内の横断線$\sigma_1,\sigma_2$で共有している積分曲線がある各点$p\in A_1=\sigma_1\cap \pi^{-1}(U_{1,2})$に対して、その積分曲線を辿って$A_2=\sigma_2\cap \pi^{-1}(U_{1,2})$上に(初めて)交わる点への関数$H(p)$が一意に考えられる。
　これはちょうど、ベクトル場$X$によって定まるフロー$\Phi:I_p×U\to U$($I_p$は各点$p$に対して存在する時間区間のことで、時間0で$\Phi$は初期値$p$を取る)と、$A_1$の点$p$から積分曲線を辿って$A_2$に写る(初めの)時間$\tau(p)$を使用して、$H(p)=\Phi(\tau(p),p)$と表せる。

　そしてこれにより$H:A_1\to A_2$は$C^r$級局所微分同相となる。($B_2$での第2成分への射影を$F$とすると、$A_1$の点$p$に対する時刻$\tau(p)$についての方程式$F(\Phi(\tau (p),p))=0$を得る。横断性よりこれの時間での微分は非零かつ、$\phi_2,F$が$C^r$より、陰関数定理から$\tau(p)$が$C^r$級が従う。よって$H$は$C^r$級。)
　したがって、それを各$s$座標で見た座標変換、すなわち$f_{B_2}\circ f_{B_1}^{-1}$は$C^r$級。

　以上より、$M$が$C^r$級多様体である事が分かる。