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現代数学解説
文献あり

ラマヌジャン総和法0:総和法とは

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{c}[0]{\cdot} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{F}[4]{{}_2F_1\left(\begin{matrix}#1,#2\\#3\end{matrix};#4\right)} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{FF}[6]{{}_3F_2\left(\begin{matrix}#1,#2,#3\\#4,#5\end{matrix};#6\right)} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\operatorname{Gal}} \newcommand{H}[0]{\mathbb{H}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{L}[0]{\Lambda} \newcommand{la}[0]{\lambda} \newcommand{La}[0]{\Lambda} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{li}[0]{\operatorname{li}} \newcommand{M}[4]{\begin{pmatrix}#1& #2\\#3& #4\end{pmatrix}} \newcommand{mc}[0]{\mathcal} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{O}[0]{\Omega} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{P}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vp}[0]{\varphi} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事ではラマヌジャンの総和法について勉強していきます。
 最近ラマヌジャン関係の調べ物をしていたときに"Ramanujan Summation of Divergent Series"という面白そうな本を見つけたのでまずはその導入でも読んで思ったこととかを書いていこうと思います。

総和法とは

 皆さんは無限和というと、それがどういうものであると理解しているでしょうか。
 我々の扱っている数、ここでは複素数としましょう、には二数$a,b$に対し和$a+b$という演算が組み込まれています。また$n$個の数$a_1,a_2,\ldots,a_n$に対し繰り返し和を取ることでその総和
$$\sum_{k\in\{1,2,\ldots,n\}}a_k=\sum^n_{k=1}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n$$
という演算が考えられます。しかしより一般に無限個の数の族$(a_\la)_{\la\in\La}$に対してその総和
$$\sum_{\la\in\La}a_\la$$
を考えることはできません。もしこのような演算を考えたいのであればこの和というものの何らかの"解釈"、あるいは"意味付け"が必要となります。そしてその解釈や意味付けの方法のことを総和法と言います。

総和法

 特定の性質を持つ数列$(a_n)_{n\geq0}$あるいはその部分和
$$s_n=\sum^n_{k=0}a_k$$
のなす数列$(s_n)_{n\geq0}$に対し何らかの複素値を対応させることを総和法(summability method)と言う。

 最も一般的かつ解析的に重要な総和法としてはCauchyの極限による解釈
$$\sum^\infty_{n=0}a_n=\lim_{n\to\infty}\sum^n_{k=0}a_k$$
があります。

Cauchy総和法

 級数$\sum a_n$がCauchy総和可能であるとはある複素素$S$が存在し、任意の$\e>0$に対しある$N$が存在し
$$n\geq N\Rightarrow|s_n-S|<\e$$
が成り立つことを言う。このときその値$S$のことを
$$S=\sum^\infty_{n=0}a_n$$
と表し、これをCauchy和と言う。

 通常Cauchy和のことを総和法の一つと数えたりCauchy和と呼んだりすることはありませんが、説明の都合上何かと便利なのでこのような解釈をすることにしました。
 一般に総和法と言った場合、その醍醐味はCauchy総和可能でない級数、いわゆる発散級数の値を定めることにあります。例えばCauchyの手法では調和級数
$$\sum_{n\geq1}\frac1n=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots$$
のように値が無限大に向かってゆくものやGrandi級数
$$\sum_{n\geq0}(-1)^n=1-1+1-1+1+\cdots$$
のように振動するものに対してその値を定めることはできませんでしたが、これらの級数も適当な解釈に基づけば
\begin{align} \sum^{\mc R}_{n\geq1}\frac1n&=\g\\ \sum^{\mc C}_{n\geq0}(-1)^n&=\frac12 \end{align}
のような値を割り当てることができます(ただし$\g$はEuler定数としました)。

正規性を持つ総和法

 では実際上のような級数の意味付けとしてどのような方法が考えられるでしょうか。まず総和法と言うからにはCauchy和を基点とした延長線上になければ、ということで少なくとも収束級数に対しては
$$\Sigma(a_n)=\sum^\infty_{n=0}a_n$$
を返すような操作$\Sigma$を考えてみましょう。
 具体的には次のような定理を活用していきます。

Cesàro平均

$$\lim_{n\to\infty}s_n=S$$
なる数列$s_n$に対し
$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum^{n-1}_{k=0}s_k=S$$
が成り立つ。

Abelの連続性定理

$$\lim_{n\to\infty}\sum^n_{k=0}a_k=S$$
なる数列$a_n$に対し
$$\lim_{t\to1-0}\sum^\infty_{n=0}a_nt^n=S$$
が成り立つ。

 これらの定理から次のような総和法が考えられます。

Cesàro総和法

 級数$\sum a_n$がCesàro総和可能であるとは
$$\sum^{\mc C}_{n\geq0}a_n\coloneqq\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum^{n-1}_{k=0}s_k$$
が収束することを言い、その値のことをCesàro和と言う。

Abel総和法

 級数$\sum a_n$がAbel総和可能であるとは
$$\sum^\infty_{n=0}a_nt^n$$
$|t|<1$において収束し、また極限
$$\sum^{\mc A}_{n\geq0}a_n\coloneqq\lim_{t\to1-0}\sum^\infty_{n=0}a_nt^n$$
が存在すること言い、その値のことをAbel和と言う。

 例えば
$$\sum^\infty_{n=0}(-1)^n,\quad\sum^\infty_{n=0}(-1)^n(n+1)$$
という発散級数の値を考えると、その部分和は
$$\sum^n_{k=0}(-1)^k=\l\{\begin{array}{rl} 1&n=2k\\0&n=2k+1 \end{array}\r.,\quad \sum^n_{k=0}(-1)^k(k+1)=\l\{\begin{array}{rl} k+1&n=2k\\-k-1&n=2k+1 \end{array}\r.$$
と表せ、また$|t|<1$において
$$\sum^\infty_{n=0}(-1)^nt^n=\frac1{1+t},\quad \sum^\infty_{n=0}(-1)^n(n+1)t^n=\frac1{(1+t)^2}$$
が成り立つのでこれらのCesàro和、Abel和はそれぞれ
\begin{align} \sum^{\mc C}_{n\geq0}(-1)^n&=\frac12& \sum^{\mc C}_{n\geq0}(-1)^n(n+1)&=(\mbox{収束しない})\\ \sum^{\mc A}_{n\geq0}(-1)^n&=\frac12& \sum^{\mc A}_{n\geq0}(-1)^n(n+1)&=\frac14\\ \end{align}
と求まります。
 ちなみにCesàro総和可能な級数はAbel総和可能でもあり、その和の値は一致することが知られているようです。

おまけ:Toeplitz総和法

 ちなみに部分和分によりAbel和は
$$\sum^{\mc A}_{n\geq0}a_n=\lim_{t\to1-0}\sum^\infty_{n=0}s_n(t^n-t^{n+1})$$
のようにも表せます。
 これとCesàro和の一般化としてToeplitz和というものがあります。

Toeplitz総和法

 位相空間$T$において$T$の"臨界点(limit point)"$l$と関数列$p_n:T\to\C$を任意に取る。
 いま級数$\sum a_n$がToeplitz総和可能であるとは
$$\sum^\infty_{n=0}p_n(t),\quad\sum^\infty_{n=0}p_n(t)s_n$$
が任意の$t\in T$において収束し、また極限
$$\sum^{\mc T}_{n\geq0}a_n\coloneqq\lim_{t\to l}\frac{\sum^\infty_{n=0}p_n(t)s_n}{\sum^\infty_{n=0}p_n(t)}$$
が存在することを言い、その値のことをToeplitz和と言う。

 例えばCesàro和はこの$T=\N,l=\infty$および
$$p_n(N)=\l\{\begin{array}{cl} 1&0\leq n\leq N-1\\ 0&N\leq n \end{array}\right.$$
の場合であり、Abel和はこの$T=(0,1),l=1$および$p_n(t)=t^n$の場合となっています。
 Toeplitz和って存在するなら$p_n$の取り方に依らず一意だったりするのでしょうかね?残念ながら今回読んでいる本ではこれ以降Toeplitz和は登場しないので、詳しいことについてはHardyの"Divergent Series"などを参照してください。

総和法の性質と問題点

 上のようにCauchy和の延長線として考えられた総和法においては次のような性質が成り立ちます。

  • 正規性(regularity):収束級数$\sum^\infty_{n=0}a_n$に対して
    $$\sum^{\mc T}_{n\geq0}a_n=\sum^\infty_{n=0}a_n$$
  • 線形性:
    $$\sum^{\mc T}_{n\geq0}(Aa_n+Bb_n)=A\sum^{\mc T}_{n\geq0}a_n+B\sum^{\mc T}_{n\geq0}b_n$$
  • 並進性(translation property):
    $$\sum^{\mc T}_{n\geq0}a_n=a_0+\sum^{\mc T}_{n\geq0}a_{n+1}$$

 これらは"総和"の持ってほしい性質として我々の直感に従う結果ではありますが、この三つ目の性質が強い制限を課しているがゆえに、このような総和法では考えることができない発散級数というのが多数存在してしまいます。例えば$\sum_{n\geq0}1$のような級数が総和可能であったとすると
$$\sum^{\mc T}_{n\geq0}1=1+\sum^{\mc T}_{n\geq0}1$$
が成り立つことになり矛盾してしまいます。したがって総和法の例としてよく挙げられる
$$1+1+1+\cdots=-\frac12$$
という言説を正当化するにはこのような総和法、つまり並進性を満たすようなものでは不十分ということになります。

Ramanujan総和法の性質

 ということでここからはより多くの発散級数を扱えるRamanujan総和法について解説していきたいと思いますが、その導入については書くと長くなりそうなので次回の記事に回すことにして、ここではRamanujan総和法の持つ性質について簡単に紹介しておこうと思います。
 上で触れたようにこれから考えるRamanujan総和法は並進性を破る総和法となっており、その代わりに
$$\sum^{\mc R}_{n\geq1}f(n)=\sum^{\mc R}_{n\geq1}f(n+1)+f(1)-\int^2_1f(x)dx$$
という推移性(shift property)を満たすことになります。そしてそれゆえにこれは正規性
$$\sum^{\mc R}_{n\geq1}f(n)=\sum^\infty_{n=1}f(n)$$
すら満たしません。例えば右辺の級数・積分がそれぞれ収束するときは
$$\sum^{\mc R}_{n\geq1}f(n)=\sum^\infty_{n=1}f(n)-\int^\infty_1f(x)dx$$
が成り立ちます。
 この表示だとRamanujan和は我々の考える"無限和"とは全く外れた無意味な値を返すようにも見えます。しかし例えば$f(x)=1/x^s$とおくと$\Re(s)>1$において
$$\sum^{\mc R}_{n\geq1}\frac1{n^s}=\z(s)-\frac1{s-1}$$
が成り立ちますが、実はこれは$\Re(s)\leq1$においても成り立ち、そして$\Re(s)<0$において一項ずらすことで
$$\sum^{\mc R}_{n\geq1}(n-1)^k=\sum^{\mc R}_{n\geq1}n^k-\frac1{k+1}=\z(-k)$$
つまり
\begin{alignat}{3} \sum^{\mc R}_{n\geq1}\frac1n&=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots&&=\g\\ \sum^{\mc R}_{n\geq1}1&=1+1+1+1+\cdots&&=\frac12\\ \sum^{\mc R}_{n\geq1}(n-1)&=0+1+2+3+\cdots&&=-\frac1{12}\\ \sum^{\mc R}_{n\geq1}(n-1)^2&=0+1+4+9+\cdots&&=0\\ \sum^{\mc R}_{n\geq1}(n-1)^3&=0+1+8+27+\cdots&&=\frac1{120}\\ \end{alignat}
といった興味深い結果が得られます。
 さらに解析的にもRamanujan和は興味深い性質を持つようで、例えばゼータ関数や重さ$2$のアイゼンシュタイン級数
$$G_2(z)=\sum^\infty_{m=-\infty}\bigg(\sum^\infty_{\substack{n=-\infty\\(m,n)\neq(0,0)}}\frac1{(mz+n)^2}\bigg)$$
をRamanujan和と結びつけることでその関数等式
\begin{align} \z(1-s)&=2^{1-s}\pi^{-s}\cos\frac{\pi s}2\G(1-s)\z(s)\\ G_2\l(-\frac1z\r)&=z^2G_2(z)-2\pi iz \end{align}
を導出できたりするようです。
 具体的にRamanujan和から一体どのような理論が展開できるのか、ということについては次回以降の記事で考察していこうと思います。

参考文献

[1]
Bernard Candelpergher, Ramanujan Summation of Divergent Series, Springer, 2017
投稿日:21日前
更新日:19日前

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子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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