Twitter（現X）で見つけた問題を解く３

はじめに

　今回は趣向を変えて，物理の問題を解きたいと思います。

問題

　物理の問題文は書くのが大変なので，引用元を見てください。

解答

　小球が$\theta$の位置での台と小球の運動方程式は，小球と台の間の垂直抗力を$n$，台と床の間の垂直抗力を$N$とすると
\begin{align} \text{小球($x$成分)} &: m \ddot{x} = - n \sin{\theta}, \\ \text{小球($y$成分)} &: m \ddot{y} = n \cos{\theta} - m g, \\ \text{台($x$成分)} &: M \ddot{X} = n \sin{\theta}, \\ \text{台($y$成分)} &: 0 = N - n \cos{\theta} - M g \end{align}
となる。また$\dot{x} = u_x$，$\dot{y} = u_y$，$\dot{X} = V$であり，束縛条件は$(u_x - V) \tan{\theta} = u_y - 0$となる。
　未知数が6つに対して，運動方程式+束縛条件が5式なので解けそうにない。そのため保存則で考えるのがよいと判断する。

(1)

　運動量保存則から
\begin{align} m v_0 &= m u_x + M V \end{align}
束縛条件：$(u_x - V) \tan{\theta} = u_y$とあわせて
\begin{equation} u_y = \left\{\left(v_0 - \frac{M}{m} V\right) - V\right\} \tan{\theta} = \left\{v_0 - \left(1 + \frac{M}{m}\right) V\right\} \tan{\theta} \end{equation}

(2)

　$u_y = 0$となるときの$V$が求めるものだから，$V = \dfrac{m}{m + M} v_0$となる。

(3)

　エネルギー保存則から
\begin{align} \frac{m}{2} v_0^2 &= \frac{m}{2} (u_x^2 + u_y^2) + \frac{M}{2} V^2 + m g R (1 - \cos{\theta}) \end{align}
となる。(2)の答えを$v$とおくと，$\theta = \theta_0$のとき$u_x = V = v$，$u_y = 0$だから
\begin{equation} \frac{m}{2} v_0^2 = \frac{m}{2} v^2 + \frac{M}{2} v^2 + m g R (1 - \cos{\theta_0}), \qquad \therefore \cos{\theta_0} = 1 - \frac{M v_0^2}{2 (m + M) g R} \end{equation}
を得る。また$H = R (1 - \cos{\theta_0}) = \dfrac{M v_0^2}{2(m + M)g}$である。

引用

https://x.com/Naito_Nori/status/2062087993800986645?s=20