立方体の展開図を組み合わせて長方形を作れるか？

次の問題を考えた。

そんなに難しくもなく、おそらく中学生か、もしかすると小学生でも解けるかもしれない。
　
＊以下、しばらく余白＊
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　以下、証明らしきものを記す。

解答

答え： できない。
以下、できたと仮定して矛盾を導く。
回転や鏡像を区別しない場合、立方体の展開図になるヘキソミノは11種類存在し、これをピースと呼ぶことにする。簡便のため、以下のようにまとめて記載することにする。

このときピースは、以下の5パターンに分類される。

さて、長方形のある隅を埋めるピースについて考える。これは以下の5パターンにまとめられる。

パターンAの場合、斜線部に置けるピースがない。
パターンB, C, Dの場合、斜線部に置けるピースはS型のみだが、このとき長方形の辺に接して再びパターンDの斜線部と同様の隙間ができる。よってS型のピースを繰り返し置くことになり、やがてその先にある隅でピースを置けなくなる。

最後にパターンEを考える。Eの斜線部に置けるピースは以下の2パターンであるが、

左のパターン(パターンFとする)の場合、パターンB, C, Dの場合と同様にS型のピースを繰り返し置くことになり、やがてピースを置けなくなる。
右のパターンの場合、再びパターンEの斜線部と同様の隙間ができる。パターンFの置き方をすると同様に破綻するので、W型ピースを繰り返し置くことになり、やがてその先にある隅でピースを置けなくなる。
　
以上より、単位立方体の展開図を重なりなく組み合わせて長方形を作ることはできない。
(長方形の辺が小さい場合、まず置けるピースがなくなり破綻するが、詳細は略)

なお redditの記事によれば 、11種類のピースのいずれでも、それ1種類のみで平面を埋め尽くせるという。(端がなければ埋め尽くせる)