倍数判定法のお話

昔々あるところにおじいさんとおばあさんがいました。
おじいさんは山へ三角測量をしに、おばあさんは川へ洗濯をしに行きました。
すると、どんぶらこどんぶらこと大きな整数$$m$$が川の上流から流れてきました。
おばあさんはその整数を家に持ち帰りました。

本題

ここらへんで茶番は終わりにします。
川から整数が流れてくる状況の想像にみなさんが苦しんでいると思うので、ここらへんでやめます。深夜テンションで変なお話を創造してしまいました。

なぜ今回倍数判定法のお話を取り上げようと思ったのか、それは この ツイートを見ていただければわかるようにバズったんです！！！
その内容を軽く纏めると、
OKT氏のツイートを引用し、しょーもないことを呟いた結果なんと大量のいいねをもらいました。

その内容こそが倍数判定法です。

倍数判定法とは？

倍数判定法は漢字の構成からも推測できると思いますが、とある整数が自身よりも小さい整数で割れるかどうかを判定する方法のことです。
また、その方法は整数によって異なり、何種類も判定法が存在するものもあります。

では早速倍数判定方の例を見ていきましょう
今回扱うのは10進数の場合のみです

とりあえず私はこのぐらいまで把握しています。
これ以上のは実際に割ってみてもいいんじゃないかなぐらいに思っています。
（ちなみにこの記事を書いている間にもいいねが伸び続けていて最初からここまでで200いいね増えました。）

解説

それぞれの倍数判定法について解説していこうと思います

1の倍数判定法

全ての整数

これは解説をするまでもなく自明ですね

2の倍数判定法

全ての偶数

これも解説をするまでもなく自明ですね

3の倍数判定法

各位の数の総和が3の倍数

例12321
まず12321は3の倍数ですね（わからなくても一旦飲み込んで）
3の倍数判定法を試してみましょう
$$1+2+3+2+1＝9 $$
というふうに計算できますね。9は3の倍数ですので、12321が3の倍数であることが判定できました。
（9の倍数でも似たようなことが言えます）

4の倍数判定法

下二桁が４の倍数

例　123456789098765432128
例えばこんな大きい数も下二桁を見るだけで4の倍数であることが判定できます。
その仕組みはmod4で考えると分かりやすいでしょう
100は4で割り切れます。すなわち下二桁が4の倍数であれば下三桁目からは計算しなくても4の倍数かどうかが明らかなわけです。
（後述する8の倍数についても似たようなことが言えます。）

5の倍数判定法

下一桁が0or5

これは直感的にわかるのではないでしょうか
九九の5の段を思い浮かべてみてください
5にかけられる数が奇数であれば下一桁は5であり、偶数の場合は0になっていますね！

6の倍数判定法

同時に2と3の倍数

これは2と3が互いに素であることで同時に2と3の倍数を満たすものは6の倍数しかありえないというわけです。

7の倍数判定法

最下位の数を二倍してその数を残りの数から引き、引いた値が7で割り切れればもとの数も7の倍数

これ数ある7の倍数判定法のうち私が唯一知っているものです
あくまで一例ですので、自分にあった判定法を身につけてください
例　1183
この数の最下位の数は3ですね
3を二倍すると6です
$$118-6=112$$です
実はここで終わってしまってもいいのですが、さらに同じ操作をもう一度行ってみましょう
$$11-4=7$$
こうすることで、より確実に7の倍数であることが言えましたね
実際に1183は7×169というふうになるので判定法が正しいと言えます

8の倍数判定法

下三桁が8の倍数

これは1000が8で割り切れることを踏まえると4の倍数のときと同様に考えることができると思います。

9の倍数判定法

各位の数の総和が9の倍数

これは3の倍数判定法とにていますね

10の倍判定法

下一桁が0

よくよく考えればこれが一番簡単ですね
（執筆当初は同時に2と5の倍数と書いていましたが、コメントでご指摘を頂きました。自戒）

11の倍数

各位の数を先頭から順に引いて足して引いて足してを繰りかえし、最終的な値が11の倍数であれば、もとの数も11の倍数

例）1078
$$1-0+7-8=0$$となり0は11の倍数ですので、1078は11の倍数です。
これはmod11で考えた時、$$10^n≡(-1)^n $$であることを考えればわかりやすいと思います。

まとめ

今回の記事では倍数判定法のお話を取り上げました。
一応確認したつもりですが、内容に間違いがあれば直ぐに教えてください
（深夜テンションで作った部分ばかりなので、間違いがあるかも？）

この記事を投稿する時点ではいいねが2000を超えていて嬉しいです。
ここまで読んでくださりありがとうございました！

追記

編集を行いました（3月10日）