2が並んだq多重ゼータ値とEisenstein級数の関係
\begin{align}
A_k(q)&:=\sum_{1\leq n_1<\cdots< n_k}\prod_{i=1}^k\frac{q^{n_i}}{(1-q^{n_i})^2}\\
G_k(q)&:=\sum_{1\leq n}\frac{n^{k-1}q^n}{1-q^n}
\end{align}
とする.
$A_k(q)$は$q$多重ゼータ値
\begin{align}
\zeta[k_1,\dots,k_r]:=\sum_{1\leq n_1<\cdots< n_r}\prod_{i=1}^r\frac{q^{n_i(k_i-1)}}{(1-q^{n_i})^{k_i}}
\end{align}
を用いて,
\begin{align}
A_k(q)=\zeta[\{2\}^k]
\end{align}
と表されるものである. また, $G_{2k}(q)$はEisenstein級数と
\begin{align}
\sum_{(m,n)\in\ZZ^2-\{(0,0)\}}\frac 1{(m+n\tau)^{2k}}&=2\zeta(2k)+\frac{2(2\pi i)^{2k}}{(k-1)!}G_{2k}(q)
\end{align}
の関係がある. このように定めたとき, $A_k(q)$と$G_{2k}(q)$には以下の関係があることが示されている.
\begin{align}
\sum_{0\leq k}A_k(q)t^{2k}&=\exp\left(2\sum_{1\leq k}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k)!}G_{2k}(q)\left(2\arcsin\frac t2\right)^{2k}\right)
\end{align}
が成り立つ.
この定理のBachmannによる証明は多重Eisenstein級数を用いるものだったが, Kang-Matsusaka-Shinの2025年の論文において別証明が与えられ, 一般化されている. 以下, それらとは別の比較的簡潔な証明を思いついたので, それを述べる.
$t=2\sin\theta$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq k}A_k(q)t^{2k}&=1+\sum_{1\leq k}(2\sin\theta)^{2k}\sum_{1\leq n_1\leq\cdots\leq n_k}\prod_{i=1}^k\frac{q^{n_i}}{(1-q^{n_i})^2}\\
&=\prod_{1\leq n}\left(1+\frac{(2\sin\theta)^2q^n}{(1-q^n)^2}\right)\\
&=\prod_{1\leq n}\frac{1+((2\sin\theta)^2-2)q^n+q^{2n}}{(1-q^n)^2}\\
&=\prod_{1\leq n}\frac{1-2\cos(2\theta)q^n+q^{2n}}{(1-q^n)^2}\\
&=\prod_{1\leq n}\frac{(1-e^{2i\theta}q^n)(1-e^{-2i\theta}q^n)}{(1-q^n)^2}\\
&=\exp\left(\sum_{1\leq n}\ln\frac{(1-e^{2i\theta}q^n)(1-e^{-2i\theta}q^n)}{(1-q^n)^2}\right)\\
&=\exp\left(\sum_{1\leq n,m}\frac{2-e^{2im\theta}-e^{-2im\theta}}{m}q^{nm}\right)\\
&=\exp\left(2\sum_{1\leq m}\frac{1-\cos 2m\theta}{m}\frac{q^m}{1-q^m}\right)\\
&=\exp\left(2\sum_{1\leq m,k}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k)!}\frac{m^{2k-1}q^m}{1-q^m}(2\theta)^{2k}\right)\\
&=\exp\left(2\sum_{1\leq k}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k)!}G_{2k}(q)(2\theta)^{2k}\right)\\
&=\exp\left(2\sum_{1\leq k}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k)!}G_{2k}(q)\left(2\arcsin\frac t2\right)^{2k}\right)
\end{align}
と示される.
2が並んだ多重ゼータ値は
\begin{align}
\zeta(\{2\}^n)&=\frac{\pi^{2n}}{(2n+1)!}
\end{align}
とシンプルな表示を持つが, 定理1の母関数を展開しても$A_k(q)$に関する簡潔な明示式は得られなさそうである.
