こないだの証明を厳密に
いろんなサイト調べながらやったので
まだ厳密じゃないところあると思うのでバシバシ指摘してください(#^.^#)
$$a,c\in\mathbb{N},b,d>-1, \left|z\right|<\frac{(a+c)^{a+c}}{a^ac^c}$$とする
(ダランベールの公式で$z$の範囲を決定した)
\begin{eqnarray}
\\\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Gamma(ak+b+1)\Gamma(ck+d+1)}{\Gamma((a+c)k+b+d+2)}z^k&=&\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{1}z^kx^{ak+b}(1-x)^{ck+d}dx
\\&=&\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{\infty}z^kx^{ak+b}(1-x)^{ck+d}dx
\\ここの証明は後でする
\\&=&\int_{0}^{1}x^b(1-x)^d\sum_{k=0}^{\infty}\left(zx^a(1-x)^c\right)^kdx
\\&=&\int_{0}^{1}\frac{x^b(1-x)^d}{1-zx^a(1-x)^c}dx
\\ここの証明もあとでする
\end{eqnarray}
$$x^a(1-x)^c \leq \frac{a^ac^c}{(a+c)^{a+c}}$$
証明
$0< x^a(1-x)^c$に注意
最大値を考えるために$f(x):=x^a(1-x)^c$とする
対数微分をする
$$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{a}{x}-\frac{c}{1-x}=0$$
$x$について解くと$x=\frac{a}{a+c}$となる。$0 \leq \frac{a}{a+c}\leq 1$のためOK
$$f\left(\frac{a}{a+c}\right)=\frac{a^ac^c}{(a+c)^{a+c}}$$
ついでに二次導関数を考えてちゃんと最大値かどうかを判断する
\begin{eqnarray}
f'(x)&=&ax^{a-1}(1-x)^c-cx^a(1-x)^{c-1}
\\f''(x)&=&a(a-1)x^{a-2}(1-x)^c-2acx^{a-1}(1-x)^{c-1}+c(c-1)x^a(1-x)^{c-2}
\\f''\left(\frac{a}{a+c}\right)&=&\frac{(a-1)a^{a-1}c^c-2a^ac^c+(c-1)a^ac^{c-1}}{(a+c)^{a+c-2}}
\\&=&-\frac{a^{a-1}c^{c-1}}{(a+c)^{a+c-3}}
\end{eqnarray}
よって負になるため最大値である
つまり
$$x^a(1-x)^c \leq \frac{a^ac^c}{(a+c)^{a+c}}$$
が成り立つ
一つ目の証明
ワイエルシュトラスのM判定法を用いる
\begin{eqnarray}
f_k(x)&:=&z^ax^{ak+b}(1-x)^{ck+d}
\\|f_k(x)|&=&|z|^kx^{ak+b}(1-x)^{ck+d}
\\&=&|z|^kx^b(1-x)^d\left(x^a(1-x)^c\right)^k
\\&\leq&|z|^kx^b(1-x)^d\left(\frac{a^ac^c}{(a+c)^{a+c}}\right)^k \quad 補題より
\\&=&x^b(1-x)^d\left(|z|\frac{a^ac^c}{(a+c)^{a+c}}\right)^k
\\M_k&:=&x^b(1-x)^d\left(|z|\frac{a^ac^c}{(a+c)^{a+c}}\right)^kとする
\\\left|z\right|&<&\frac{(a+c)^{a+c}}{a^ac^c}なので
\\1&>&|z|\frac{a^ac^c}{(a+c)^{a+c}}より
\\\sum_{k=0}^{\infty}M_k&=&\frac{x^b(1-x)^d}{1-|z|\frac{a^ac^c}{(a+c)^{a+c}}}
\\また、|z| &\neq& \frac{(a+c)^{a+c}}{a^ac^c}なので
\\&&\sum_{k=0}^{\infty}f_k(x)は一様収束する
\end{eqnarray}
二つ目の証明
「一つ目の証明」の中でほぼ書いてあるけど改めて書きます
\begin{eqnarray}
|zx^a(1-x)^c|&<&1であることを証明する
\\|zx^a(1-x)^c|&=&|z|x^a(1-x)^c
\\&\leq& |z|\frac{a^ac^c}{(a+c)^{a+c}}
\\&<&\frac{(a+c)^{a+c}}{a^ac^c}\frac{a^ac^c}{(a+c)^{a+c}}
\\&=&1
\\よって示された
\end{eqnarray}
見てくれてありがとう！
備忘録的な感じでやったので見やすさはあんま良くないです、、、
