漸化式の解き方を間違えてみた

概要

この記事では、$ 2 $つの漸化式の問題の解き方を入れ替えて解いてみます。

注意

記事タイトルは「解き方を間違えてみた」ですが、推論は数学的に完全に正しいものであり、答えも正しいです。この記事は単に、標準的な解き方でなくても解けるという技巧的要素を提供しています。

問題

問1

間違えた方針

$ a_{n+1} = 3a_{n} + 2 $の$ 3 a_{n} $を左辺に移項すると、$ a_{n+1} - 3a_{n} = 2 $となる。これは隣接$ 3 $項間漸化式の解き方の途中に現れる式と似ている。
実際、$ 2 $を$ 2 \cdot 1^n $と書くと、$ a_n $は「特性方程式の解が$ 1, 3 $である隣接$ 3 $項間漸化式」で表されることが分かる。

解答

$ b_n = a_{n+1} - a_n $とおくと、

\begin{align*} b_{n+1} - 3b_n &= (a_{n+2} - a_{n+1}) - 3(a_{n+1} - a{n}) \\ &= a_{n+2} - 4a_{n+1} + 3a_{n} \\ &= (3a_{n+1} + 2) - 4a_{n+1} + 3a_{n} \\ &= -a_{n+1} + 3a_{n} + 2 \\ &= -(3a_{n} + 2) + 3a_{n} + 2 \\ &= 0 \end{align*}

であり、$ b_1 = 5 - 1 = 4 $であるから、$ \{ b_n \} $は初項$ 4 $、公比$ 3 $の等比数列である。
よって、$ a_{n+1} - a_n = b_n = 4 \cdot 3^{n-1} $である。

したがって、
$ a_{n+1} - 3a_{n} = 2 $
$ a_{n+1} - a_n = 4 \cdot 3^{n-1} $
の$ 2 $式から$ a_{n+1} $を消去して、

$ a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1 $

を得る。

問2

間違えた方針

何らかの複素数(実数であってほしい)$ A, B $を用いて$ a_{n+2} - Aa_{n+1} = B(a_{n+1} - Aa_n) $と変形できるので、したがって何らかの複素数$ C $を用いて$ a_{n+1} - Aa_{n} = C \cdot B^n $と書ける。隣接$ 2 $項間漸化式のように特性方程式を使いたいが、右辺が定数ではない。そこで、$ a_1, a_2 $を自由に動かしたとき、仮に$ a_n = \alpha \cdot B^n $となる解があったとして、これを$ a_{n+1} - Aa_{n} = C \cdot B^n $に代入して$ B^n $の係数を比較すると、$ \alpha B - A \alpha = C $となり、これは$ \alpha $について解くことができる。

解答

$ \lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0 $の解は$ \lambda = 2, 4 $であるから、

$ a_{n+2} - 2a_{n+1} = 4(a_{n+1} - 2a_n) $

が成り立つ。

$ a_2 - 2a_1 = 4 - 8 = -4 $より、$ a_{n+1} - 2a_{n} = -4 \cdot 4^{n-1} $である。

方程式$ 4\alpha - 2\alpha = -4 $の解は$ \alpha = -2 $であるから、次が成り立つ:

\begin{equation*} \left(a_{n+1} - \left(-2 \cdot 4^{n}\right)\right) - 2\left(a_n - \left(-2 \cdot 4^{n-1}\right)\right) = a_{n+1} - 2a_n + \left(8 - 4\right) \cdot 4^{n-1} = 0 \end{equation*}

したがって、$ \{a_n - \left(-2 \cdot 4^{n-1}\right) \} $は初項$ 4 - (-2 \cdot 1) = 6 $、公比$ 2 $の等比数列である。

よって、$ a_n - \left(-2 \cdot 4^{n-1}\right) = 6 \cdot 2^{n-1} $であるから、

\begin{equation*} a_n = 6 \cdot 2^{n-1} - 2 \cdot 4^{n-1} \end{equation*}

である。