x^x^x(xテトレーション3)の逆関数

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はじめに

　こんにちは、久しぶりのn=1です。今回は $x^{(x^{x})}$ の逆関数、すなわち $^{3} x$ (x テトレーション 3)の逆関数を求めていきます。

その前に

　 $^{3} x$ を求める前に、まず参考に $^{2} x$ を求めます。これは、 $W (x)$ をランベルトのw関数として
$x^{x} = y$
$e^{x \ln (x)} = y$
$x \ln (x) = \ln (x) e^{\ln (x)} = y$
$W (\ln (x) e^{\ln (x)}) = \ln (x) = W (\ln (y))$
$x = e^{W (\ln (y))} = \frac{\ln (y)}{W (\ln (y))}$
となります。また、 $W (x)$ はラグランジュ反転定理を使えば求められます。

本題

　それでは $^{3} x$ を求めていきます。 $^{2} x$ の時と同じように求めると
$^{3} x = y$
$(\ln (x)) e^{x \ln (x)} = (\ln (x)) e^{(\ln (x)) e^{\ln (x)}} = \ln (y)$
となります。そのため、 $f (x) = x e^{x e^{x}}$ として $f^{- 1} (x)$ 分かれば良いと分かります。これも $f^{'} (0) = ((0 + 1) 0 e^{0} + 1) e^{0 e^{0}} = 1 \neq 0$ なので $W (x)$ とおなじようにラグランジュ反転定理で
$f^{- 1} (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(x - f (0))^{k}}{k!} lim_{t \to 0} \frac{d^{k - 1}}{d t^{k - 1}} [(\frac{t}{f (t) - f (0)})^{k}] = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} lim_{t \to 0} \frac{d^{k - 1}}{d t^{k - 1}} e^{- k t e^{t}}$
となります。
　そのため、 $\frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{α x e^{x}}$ を求めれば良いと分かります。これは、ファー・ディ・ブルーノの公式より、
$\frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{α x e^{x}} = e^{α x e^{x}} B_{n} ((α x e^{x})^{'}, (α x e^{x})^{″}, \dots, (α x e^{x})^{(n)})$
で $α x e^{x}$ のn回微分は $α (x + n) e^{x}$ なので最終的に解をまとめると、
$^{3} x = y ⟺ x (= {\sqrt[3]{y}}_{s}) = e^{f^{- 1} (\ln (y))}$ 　 $(f (x) = x e^{x e^{x}})$
$f^{- 1} (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} lim_{t \to 0} e^{- k t e^{t}} B_{k - 1} (- k (t + 1) e^{t}, - k (t + 2) e^{t}, \dots, - k (t + k - 1) e^{t})$
と分かります。なお、 $B_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})$ は、 n次完全ベル多項式です。
　そして、この式を簡略化すると
$f^{- 1} (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} \sum_{n = 1}^{k - 1} (\binom{k - 1}{n}) (- k)^{n} n^{k - n - 1} = x - x^{2} + \frac{1}{2} x^{3} + \frac{5}{6} x^{4} - \frac{59}{24} x^{5} + \dots$
にります。