ある関数のMaclaurin展開を導いた

次の関数について，関数の列を考える．
$$f(x)=\frac{1}{ \sqrt{1-x} } $$
$$ f_{0}(x)= f(x)$$
$$f_{n}(x)= \frac{d}{dx} f_{n-1}(x) 　(n=1 , 2 , \cdots )$$
ここで，
$$f_{1}(x)= \frac{d}{dx} f_{0}(x)= \frac{1}{2{\sqrt{1-x}} ^3 }= \frac{1}{2(1-x)} f_{0}(x)$$
$$2(1-x)f_{1}(x)- f_{0}(x)=0$$
ここから，$(x)$を省略することにする：
$$2(1-x)f_{1}- f_{0}=0$$
$ $
［数学的帰納法」で，$ n=1 , 2 , \cdots$で，次が成り立つことを示す．
$$2(1-x)f_{n}- (2n-1)f_{n-1}=0$$
［basis］$n=1$のとき成り立っている．
［induction step］$n=k$のとき成り立つと仮定する：
$$2(1-x)f_{k}- (2k-1)f_{k-1}=0$$
が成り立つと仮定する．
微分して，
$$-2f_{k}+2(1-x)f_{k+1}- (2k-1)f_{k}=0$$
$$2(1-x)f_{k+1}- (2k+1)f_{k}=0$$
$n=k+1$のとき成り立っている．
［conclusion］以上から，証明された．□□
$ $
$a_{n}=f_{n}(0)$とおくと，$ n=0,1 , 2 , \cdots$で，
$$a_{0}=1$$
$$2a_{n}= (2n-1)a_{n-1}$$
これから，
$$4na_{n}= (2n)(2n-1)a_{n-1}$$
積をとると，$a_{0}=1$，$a_{n} \gt 0$なので，
$$4^n(n!) \prod_{k=1}^{n} a_{k}= (2n)!\prod_{k=1}^{n} a_{k-1}$$
$$4^n(n!)a_{n}= (2n)!a_{0}= (2n)!$$
$$a_{n}= \frac{(2n)!}{4^n(n!)}$$
したがって，
$$f(x)=\frac{1}{ \sqrt{1-x} }=\sum_{n=0}^{∞} c_{n}x^n $$
としたときの係数$c_{n}$は，
$$ c_{n}= \frac{a_{n}}{n!}= \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}=\frac{ {}_{2n} \mathrm{ C }_n }{4^n}$$
よって，等式が成り立つ．