ある関数のMaclaurin展開を導いた

次の関数について，関数の列を考える．
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$$
$$f_0(x)=f(x)$$
$$f_n(x)=\frac{d}{dx}{f}_{n-1}(x) (n=1,2,\cdots )$$
ここで，
$$f_1(x)=\frac{d}{dx}{f}_0(x)=\frac{1}{2{\sqrt{1-x}}^3}=\frac{1}{2(1-x)}{f}_0(x)$$
$$2(1-x)f_1(x)-f_0(x)=0$$
ここから，$(x)$を省略することにする：
$$2(1-x)f_1-f_0=0$$
$$
［数学的帰納法」で，$n=1,2,\cdots$で，次が成り立つことを示す．
$$2(1-x)f_n-(2n-1)f_{n-1}=0$$
［basis］$n=1$のとき成り立っている．
［induction step］$n=k$のとき成り立つと仮定する：
$$2(1-x)f_k-(2k-1)f_{k-1}=0$$
が成り立つと仮定する．
微分して，
$$-2f_k+2(1-x)f_{k+1}-(2k-1)f_k=0$$
$$2(1-x)f_{k+1}-(2k+1)f_k=0$$
$n=k+1$のとき成り立っている．
［conclusion］以上から，証明された．□□
$$
$a_n=f_n(0)$とおくと，$n=0,1,2,\cdots$で，
$$a_0=1$$
$$2a_n=(2n-1)a_{n-1}$$
これから，
$$4n{a}_n=(2n)(2n-1)a_{n-1}$$
積をとると，$a_0=1$，$a_n>0$なので，
$$4^n(n!)\prod _{k=1}^n{a}_k=(2n)!\prod _{k=1}^n{a}_{k-1}$$
$$4^n(n!)a_n=(2n)!a_0=(2n)!$$
$$a_n=\frac{(2n)!}{4^n(n!)}$$
したがって，
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n$$
としたときの係数$c_n$は，
$$c_n=\frac{a_n}{n!}=\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2}=\frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{4^n}$$
よって，等式が成り立つ．