関数の展開公式ととある問題を解いた

定義
g(x)=$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{b_{k} }{ k^{x} }$⇒ $b_{k}$=$\varsigma${g(x)}(k)
$v_{2}$(x)=xを奇数になるまで2で割り続けた数
展開公式
f(x)=$\sum_{k=1}^{∞}$$\frac{ a_{k} }{k-x}$
$a_{k}$=$\varsigma${$\frac{f^{(x-1)}(0)}{(x-1)!}$}(k)

問題
C(n)$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} n \equiv 0\mod{2} \cdots \frac{n}{2} \\ n \equiv 1\mod{2}\cdots n^{2}-1, (n-1)(n+1) \end{array} \right. \end{eqnarray}$
$\lim_{n \to \infty}$$C^{n}$(x)=0になるxを求めよう

証明
まず、nを奇数として$v_{2}$($(n)^{2}$-1)は上記の関数のショートカット。
なのでn→$2^{a}$+b 0<b<$2^{a}$として　$v_{2}$($(2^{a}+b)^{2}$-1)<$2^{a}$+bである数を求める。まず、上記の式の必要十分条件は
($2^{2a}$+2b$2^{a}$+$b^{2}$-1)÷$2^{a+1}$$\in$N<2^{a}+bなので、
$2^{2a}$+2b$2^{a}$+$b^{2}$-1=$2^{a+1}$m [mは任意の整数 0$\leq$m]を満たせばいい。
そして、上記の式の必要十分条件は$b^{2}$-1=$2^{a+1}$L
[Lは任意の整数　0$\leq$L]
この時(b+1)(b-1)=$2^{a+1}$L　b+1orb-1のどちらかが$2^{n}$の倍数の時
もう片方は2の倍数、つまりb+1orb-1のどちらかが$2^{n}$の倍数の時
(b+1)(b-1)は$2^{n+1}$の倍数にしかならない。
なので、(b+1)(b-1)が$2^{a+1}$の倍数であるときb+1orb-1のどちらかが$2^{a}$の倍数、0<b<$2^{a}$なので、b=1or$2^{a}$-1
つまり$v_{2}$($(2^{a}+b)^{2}$-1)<$2^{a}$+bの数を満たす数は
$2^{a+1}$-1or$2^{a}$+1つまり奇数の場合上記の関数の演算を繰り返して減る数は$2^{a+1}$-1or$2^{a}$+1のみ
そして$2^{a+1}$-1⇒$2^{a}$-1・$2^{a}$+1⇒$2^{a-1}$+1なので、$2^{a+1}$-1と$2^{a}$+1は最終的に0になる
そして、後は$2^{a}$が最終的に0になるそして、(n-1)(n+1)=$2^{a}$であるnは3のみなので,
答=$2^{a}$or$2^{a}$+1or$2^{a}$-1or0であることが分かった。

また、C(n)$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} n \equiv 0\mod{2} \cdots \frac{n}{2} \\ n \equiv 1\mod{2}\cdots (n-α)(n+β) \end{array} \right. \end{eqnarray}$
この方法で$\lim_{n \to \infty}$$C^{n}$(x)=0になる数も求めれる
例
C(n)$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} n \equiv 0\mod{2} \cdots \frac{n}{2} \\ n \equiv 1\mod{2}\cdots (n-q)(n+q) \end{array} \right. \end{eqnarray}$
$\lim_{n \to \infty}$$C^{n}$(x)=0になる数は$2^{n}$$\pm$q or$2^{n}$のみ。