関数の展開公式ととある問題を解いた

定義
g(x)=$\sum _{k=1}^n$$\frac{b_k}{k^x}$⇒ $b_k$=$\varsigma${g(x)}(k)
$v_2$(x)=xを奇数になるまで2で割り続けた数
展開公式
f(x)=$\sum _{k=1}^{\infty }$$\frac{a_k}{k-x}$
$a_k$=$\varsigma${$\frac{f^{(x-1)}(0)}{(x-1)!}$}(k)

問題
C(n)$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}n\equiv 0\mathrm{mod}2\cdots \frac{n}{2}\\ n\equiv 1\mathrm{mod}2\cdots n^2-1,(n-1)(n+1)\end{array}\end{array}$
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$$C^n$(x)=0になるxを求めよう

証明
まず、nを奇数として$v_2$($(n{)}^2$-1)は上記の関数のショートカット。
なのでn→$2^a$+b 0<b<$2^a$として　$v_2$($(2^a+b{)}^2$-1)<$2^a$+bである数を求める。まず、上記の式の必要十分条件は
($2^{2a}$+2b$2^a$+$b^2$-1)÷$2^{a+1}$$\in$N<2^{a}+bなので、
$2^{2a}$+2b$2^a$+$b^2$-1=$2^{a+1}$m [mは任意の整数 0$\le$m]を満たせばいい。
そして、上記の式の必要十分条件は$b^2$-1=$2^{a+1}$L
[Lは任意の整数　0$\le$L]
この時(b+1)(b-1)=$2^{a+1}$L　b+1orb-1のどちらかが$2^n$の倍数の時
もう片方は2の倍数、つまりb+1orb-1のどちらかが$2^n$の倍数の時
(b+1)(b-1)は$2^{n+1}$の倍数にしかならない。
なので、(b+1)(b-1)が$2^{a+1}$の倍数であるときb+1orb-1のどちらかが$2^a$の倍数、0<b<$2^a$なので、b=1or$2^a$-1
つまり$v_2$($(2^a+b{)}^2$-1)<$2^a$+bの数を満たす数は
$2^{a+1}$-1or$2^a$+1つまり奇数の場合上記の関数の演算を繰り返して減る数は$2^{a+1}$-1or$2^a$+1のみ
そして$2^{a+1}$-1⇒$2^a$-1・$2^a$+1⇒$2^{a-1}$+1なので、$2^{a+1}$-1と$2^a$+1は最終的に0になる
そして、後は$2^a$が最終的に0になるそして、(n-1)(n+1)=$2^a$であるnは3のみなので,
答=$2^a$or$2^a$+1or$2^a$-1or0であることが分かった。

また、C(n)$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}n\equiv 0\mathrm{mod}2\cdots \frac{n}{2}\\ n\equiv 1\mathrm{mod}2\cdots (n-\alpha )(n+\beta )\end{array}\end{array}$
この方法で$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$$C^n$(x)=0になる数も求めれる
例
C(n)$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}n\equiv 0\mathrm{mod}2\cdots \frac{n}{2}\\ n\equiv 1\mathrm{mod}2\cdots (n-q)(n+q)\end{array}\end{array}$
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$$C^n$(x)=0になる数は$2^n$$\pm$q or$2^n$のみ。