対偶を取って解けた問題

命題の対偶をとると
$$ {\tan} \theta \in \mathbb{Q} \Rightarrow {\tan} 2^{n} \theta \in \mathbb{Q} $$

よって、$p,q \in \mathbb{Z}$により、$\tan \theta = \frac{p}{q}$とおく。
ただし、$q \ne 0$とする。
このとき、この命題の対偶を数学的帰納法により示す。

1. $n=1$のとき
   $\tan{2\theta}=\cfrac{2\tan{\theta}}{1-\tan^{2}{\theta}}$より、$\tan{2\theta}=\cfrac{2pq}{q^2-p^2}$。
   $p,q \in \mathbb{Z}$ より、$\tan{2\theta} \in \mathbb{Q}$
2. $n=k+1$のとき($k\in\mathbb{N}$)
   $\alpha=\alpha(p,q)$、$\beta=\beta(p,q)$として、$\tan{2^k\theta}=\cfrac{\alpha}{\beta}$となったとする。このとき、$\alpha,\beta\in\mathbb{Q}$である。
   さて、$\tan{2^{k+1}}{\theta}=\tan{2\cdot 2^k\theta}$より、$\tan{2^{k+1}}{\theta}=\cfrac{2\alpha\beta}{\beta^2-\alpha^2}$となり、$\tan{2^{k+1}\theta}\in\mathbb{Q}$である。

以上から、対偶が全ての自然数$n$で真なので、元の命題も真である。$\Box$