APMO2022-5

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APMO2022-5の解法を置いておきます.

実数 $a, b, c, d$ が $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1$ をみたすとき, $(a - b) (b - c) (c - d) (d - a)$ のとりうる最小の値を求め, その最小の値を実現する組 $(a, b, c, d)$ をすべて求めよ.

STEP1 問題を言い換える

まず, 最小値は負だとわかります.
最小値が負なので $a - b, b - c, c - d, d - a$ のうちちょうど $1$ つまたは $3$ つが正となることがわかります. また, いずれの場合でも $a, b, c, d$ の値を適切に並べ替えることで $(a - b) (b - c) (c - d) (d - a)$ の値を変えないまま $a > b > c > d$ とできます.

$a, b, c, d$ の差が問題となっているので, $a, b, c, d$ を平行移動させることを考えてみます.
$a, b, c, d$ が平行移動したとき, $(a - b) (b - c) (c - d) (d - a)$ の値は変わりませんが $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1$ の条件に影響します.
$a - b = x, b - c = y, c - d = z$ とおくと $x, y, z > 0$ で $d - a = - (x + y + z)$ となっています.

STEP2 問題を言い換える2

$x, y, z$ の値から $(a, b, c, d)$ を復元することを考えます.
$(a, b, c, d) = (t, t - x, t - x - y, t - x - y - z)$ となり, $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1$ をみたすように $t$ の値を適切に選ぶ必要があります.
そのためには,
$\begin{aligned} 1 & = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} \\ = t^{2} + (t - x)^{2} + (t - x - y)^{2} + (t - x - y - z)^{2} \\ = 4 t^{2} - 2 (3 x + 2 y + z) t + 3 x^{2} + 2 y^{2} + z^{2} + 4 x y + 2 y z + 2 z x \end{aligned}$
が実数解をもつ必要があり, 判別式を見ることで $3 x^{2} + 4 y^{2} + 3 z^{2} + 4 x y + 4 y z + 2 z x \leq 4$ が必要とわかります.
整理すると, $2 (x + y)^{2} + 2 (y + z)^{2} + (z + x)^{2} \leq 4$ となります.
ここで, $(a - b) (b - c) (c - d) (d - a) = - x y z (x + y + z)$ であるため, 次の問題に帰着できることがわかりました.

正の実数 $x, y, z$ が $2 (x + y)^{2} + 2 (y + z)^{2} + (z + x)^{2} \leq 4$ をみたすときの $x y z (x + y + z)$ の最大値を求めよ.

STEP3 問題を言い換える3

$x y z (x + y + z)$ という形で気がついた人もいると思いますが, ここでHeronの公式を思い出してみます.
三辺の長さが $p, q, r$ である三角形の面積は $\frac{\sqrt{(p + q + r) (p + q - r) (p - q + r) (- p + q + r)}}{4}$ であり, 三辺の長さが $x + y, y + z, z + x$ である三角形の面積は $\sqrt{x y z (x + y + z)}$ となります.
さらに, 実数 $p, q, r$ について, 三辺の長さが $p, q, r$ である三角形が存在することの必要十分条件は正の実数 $x, y, z$ が存在して $p = y + z, q = z + x, r = x + y$ と書けることなので次の問題に帰着できます.

三角形 $ABC$ が $2 {AB}^{2} + 2 {BC}^{2} + {CA}^{2} \leq 4$ をみたすときの三角形 $ABC$ の面積の最大値を求めよ.

STEP4 解く

辺 $AC$ の中点を $M$ とし, $∠ AMB = θ$ とおきます.
このとき, $2 {AB}^{2} + 2 {BC}^{2} + {CA}^{2} \leq 4$ は ${BM}^{2} + 2 {AM}^{2} \leq 1$ と直せて, 三角形 $ABC$ の面積は $AM \cdot BM \sin θ$ となります.
$AM \cdot BM \sin θ \leq AM \cdot BM \leq \frac{1}{2 \sqrt{2}} ({BM}^{2} + 2 {AM}^{2}) \leq \frac{1}{2 \sqrt{2}}$
となり, これらの等号がすべて成立するとき, すなわち $θ = \frac{π}{2}$ , $BM = \sqrt{2} AM$ , ${BM}^{2} + 2 {AM}^{2} = 1$ のときに最大値を達成することがわかります.
このとき $BM = \frac{1}{\sqrt{2}}, AM = \frac{1}{2}$ であり, $AB = BC = \frac{\sqrt{3}}{2}, AC = 1$ となります.
これに対応する $x, y, z$ の値は $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3} - 1}{2}, \frac{1}{2})$ となり, $a, b, c, d$ の値を復元すると $(a, b, c, d) = (\frac{\sqrt{3} + 1}{4}, \frac{\sqrt{3} - 1}{4}, \frac{- \sqrt{3} + 1}{4}, \frac{- \sqrt{3} - 1}{4})$ となります.
また,このときの $(a - b) (b - c) (c - d) (d - a)$ の値は $- \frac{1}{8}$ でこれが最小値です.
最小値をとるときの $(a, b, c, d)$ は $(\frac{\sqrt{3} + 1}{4}, \frac{\sqrt{3} - 1}{4}, \frac{- \sqrt{3} + 1}{4}, \frac{- \sqrt{3} - 1}{4})$ およびこれを逆順にしたもの, およびこれらを巡回させたものの計 $8$ 個です.